Chrome/Edge: la tipărire selectează „Salvare ca PDF" și dezactivează „Anteturi și subsoluri"
1. Se consideră funcția \(f:(0;+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x) = x + \ln^2 x - x\ln x\).
\(f\) este derivabilă pe \((0;+\infty)\)
\(f'(x) = (x + \ln^2 x - x\ln x)' = x' + (\ln^2 x)' - (x\ln x)' =\)
\(= 1 + 2\cdot\ln x\cdot(\ln x)' - \bigl[x'\cdot\ln x + x\cdot(\ln x)'\bigr] =\)
\(= 1 + 2\ln x\cdot\dfrac{1}{x} - \!\left(\ln x + x\cdot\dfrac{1}{x}\right) = 1 + \dfrac{2\ln x}{x} - \ln x - 1 =\)
\(= \dfrac{2\ln x}{x} - \ln x = \ln x\!\left(\dfrac{2}{x}-1\right) = \dfrac{2-x}{x}\cdot\ln x = \dfrac{(2-x)\ln x}{x}\)
1. Se consideră funcția \(f:(0;+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x) = x + \ln^2 x - x\ln x\).
Fie \(M_0 \in G_f\) pentru care tangenta la \(G_f\) este paralelă cu \(Ox\).
\(M_0 \in G_f \Rightarrow M_0\bigl(x_0;\, f(x_0)\bigr)\)
Tangenta în \(M_0\) la graficul funcției are ecuația: \[y - y_0 = m(x-x_0),\quad\text{unde}\quad\begin{cases}y_0 = f(x_0),\; x_0>0\\m = f'(x_0)\end{cases}\]
Cum tangenta este \(\parallel Ox \Rightarrow\) panta tangentei este egală cu panta axei \(Ox\).
Panta axei \(Ox\) este \(\operatorname{tg}\,0°=0\;\bigl(\angle(Ox,Ox)=0°\bigr)\)
Panta tangentei este \(m = f'(x_0)\).
Din condiția de paralelism avem că \(f'(x_0)=0 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \dfrac{(2-x_0)\ln x_0}{x_0}=0,\; x_0>0 \;\Rightarrow\; (2-x_0)\ln x_0=0 \;\Rightarrow\; 2-x_0=0\)
sau \(\ln x_0=0 \;\Rightarrow\; x_0=2\) sau \(x_0=e^0=1\)
\(1,\,2>0 \;\Rightarrow\; x_0\in\{1;\,2\}\).
1. Se consideră funcția \(f:(0;+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x) = x + \ln^2 x - x\ln x\).
Facem tabelul de variație al funcției.
Rezolvăm ec. \(f'(x)=0 \Rightarrow \dfrac{(2-x)\ln x}{x}=0 \Rightarrow (2-x)\ln x=0,\; x>0 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow\; 2-x=0\) sau \(\ln x=0,\; x>0 \;\Rightarrow\; x=2\) sau \(x=1\) cu \(x>0 \;\Rightarrow\; x\in\{1;\,2\}\).
Aflăm semnul derivatei \(f'(x)=\dfrac{(2-x)\ln x}{x},\; x>0\).
Cum \(x>0 \Rightarrow\) semnul lui \(f'\) este dat de semnul produsului \((2-x)\ln x\) pe \((0;\infty)\).
\((x>1 \Rightarrow \ln x>\ln 1 \Rightarrow \ln x>0)\)
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2-x\) | + | + | + | 0 | − | ||
| \(\ln x\) | − | 0 | + | + | + | ||
| \((2-x)\ln x\) | − | 0 | + | 0 | − |
Calculăm și limitele la capetele domeniului:
\(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}x\ln x =\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\!\frac{\ln x}{\tfrac{1}{x}} \Bigl[\tfrac{\infty}{\infty}\Bigr]\overset{L'H}{=} \lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\!\frac{\tfrac{1}{x}}{-\tfrac{1}{x^2}} =\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}(-x)=0;\quad \lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\ln^2 x=(-\infty)^2=+\infty\)
\(\displaystyle\Rightarrow\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}f(x)=0+\infty-0=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\!\frac{\ln^2 x}{x} \overset{L'H}{=}\lim_{x\to+\infty}\!\frac{2\ln x}{x} \overset{L'H}{=}\lim_{x\to+\infty}\!\frac{2}{x}=0;\quad \lim_{x\to+\infty}\ln\frac{e}{x}=\ln 0^+=\!-\infty\)
\(\displaystyle\Rightarrow\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}x\!\left(\ln\tfrac{e}{x}+\tfrac{\ln^2 x}{x}\right) =+\infty\cdot(-\infty)=-\infty\)
c) — continuare
Tabelul de variație al funcției \(f\):
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | 0 | − | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(1\) min |
↗ | \(f(2)\) max |
↘ | \(-\infty\) |
\(f(1)=1+\ln^2 1-\ln 1=1\quad(\ln 1=0);\qquad f(2)=2+\ln^2 2-2\ln 2\)
Interpretarea tabelului de variație:
Analizăm ecuația \(f(x)=0\) pe intervalele \(I_1=(0;1)\), \(I_2=[1;2)\), \(I_3=[2;+\infty)\) \(\bigl(I_1\cup I_2\cup I_3=(0;\infty)\bigr)\).
\(f\) continuă pe \((0;\infty)\Rightarrow f\) continuă pe \(I_1,I_2,I_3\Rightarrow f\) are proprietatea lui Darboux \(\Rightarrow f(I_1),f(I_2),f(I_3)\) sunt intervale.