Subiectul I — BAC MI Model 2022

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5pProblema 1
Arătați că numerele \(6 - 3\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\) și \(2 + \sqrt{3}\) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
Rezolvare
Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă \(a_2^2 = a_1 \cdot a_3\).
Pas 1. \(a_2^2 = \left(\sqrt{3}\right)^2 = 3\)
Pas 2. \(a_1 \cdot a_3 = (6-3\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 12 + 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 9 = 3\)
Concluzie: \(a_2^2 = a_1 \cdot a_3 = 3\), deci cele trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. \(\checkmark\)
\(\left(\sqrt{3}\right)^2 = (6-3\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 3\) \(\checkmark\)
5pProblema 2
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 + mx + 1\), unde \(m\) este număr real. Determinați numerele reale \(m\) pentru care axa \(Ox\) este tangentă graficului funcției \(f\).
Rezolvare
Axa \(Ox\) este tangentă graficului \(f\) ⟺ ecuația \(f(x) = 0\) are rădăcină dublă ⟺ \(\Delta = 0\):
\[ \Delta = m^2 - 4 = 0 \Rightarrow m^2 = 4 \Rightarrow m = \pm 2 \]
\(m \in \{-2,\; 2\}\)
5pProblema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(5^{x+2} = 5^x + 24\).
Rezolvare
Pas 1. Scriem \(5^{x+2} = 25 \cdot 5^x\). Ecuația devine:
\[ 25 \cdot 5^x = 5^x + 24 \Rightarrow 24 \cdot 5^x = 24 \Rightarrow 5^x = 1 = 5^0 \]
Pas 2. Din injectivitatea funcției exponențiale rezultă egalitatea exponenților: \(x = 0\).
\(S = \{0\}\)
5pProblema 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte, acesta să aibă cifra zecilor multiplu de \(3\).
Rezolvare
Cazuri posibile: Numerele de două cifre sunt 90. Cele cu cifre egale sunt 9 (11, 22, ..., 99). Deci numere cu cifre distincte: \(90 - 9 = 81\).
Cazuri favorabile: Cifra zecilor multiplu de 3, nenulă: \(\{3, 6, 9\}\) → 3 variante; cifra unităților: diferită de cifra zecilor → 9 variante:
\[ \text{Cazuri favorabile} = 3 \times 9 = 27 \]
\[ P = \frac{27}{81} = \frac{1}{3} \]
\(P = \dfrac{1}{3}\)
5pProblema 5
Se consideră triunghiul \(ABC\), punctul \(D\) mijlocul laturii \(AC\) și punctul \(M\) astfel încât \(\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = \vec{0}\). Arătați că dreptele \(MD\) și \(AB\) sunt paralele.
Rezolvare
A B C D M
Notăm \(\overrightarrow{AB} = \vec{b}\) și \(\overrightarrow{AC} = \vec{c}\). Exprimăm vectorii față de \(A\):
\[ \overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM}, \quad \overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{AM} + \vec{b}, \quad \overrightarrow{MC} = -\overrightarrow{AM} + \vec{c} \]
Pas 1. Înlocuim în relația dată:
\[ -6\overrightarrow{AM} + 2\vec{b} + 3\vec{c} = \vec{0} \Rightarrow \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} \]
Pas 2. \(D\) mijlocul lui \(AC\): \(\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{2}\vec{c}\). Calculăm \(\overrightarrow{MD}\):
\[ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c} = -\frac{1}{3}\vec{b} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \]
Concluzie: \(\overrightarrow{MD} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\), deci \(\overrightarrow{MD}\) este coliniar cu \(\overrightarrow{AB}\) → dreptele \(MD\) și \(AB\) sunt paralele. \(\checkmark\)
Dreptele \(MD\) și \(AB\) sunt paralele \(\checkmark\)
5pProblema 6
Calculați lungimea laturii \(AB\) a triunghiului \(ABC\), în care \(AC = 3\) și măsurile unghiurilor \(A\) și \(B\) sunt de \(30°\), respectiv \(60°\).
Rezolvare
Pas 1. \(C = 180° - 30° - 60° = 90°\), deci triunghiul este dreptunghic în \(C\) și \(AB\) este ipotenuza.
Pas 2. Aplicăm teorema sinusurilor:
\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \frac{AB}{\sin 90°} = \frac{3}{\sin 60°} \Rightarrow AB = \frac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \]
\(AB = 2\sqrt{3}\)