Subiectul I — BAC MI Model 2022

5pProblema 1

Arătați că numerele \(6 - 3\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}\) și \(2 + \sqrt{3}\) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Trei numere \(a_1, a_2, a_3\) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă \(a_2^2 = a_1 \cdot a_3\).

Pas 1. Calculăm \(a_2^2\):

\[ a_2^2 = \left(\sqrt{3}\right)^2 = 3 \]

Pas 2. Calculăm \(a_1 \cdot a_3\):

\[ (6 - 3\sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 12 + 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 3 \cdot 3 = 12 - 9 = 3 \]

Concluzie: Deoarece \(a_2^2 = a_1 \cdot a_3 = 3\), cele trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. \(\checkmark\)

\(\left(\sqrt{3}\right)^2 = (6-3\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 3\) \(\checkmark\)

5pProblema 2

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 + mx + 1\), unde \(m\) este număr real. Determinați numerele reale \(m\) pentru care axa \(Ox\) este tangentă graficului funcției \(f\).

Axa \(Ox\) este tangentă graficului funcției \(f\) dacă și numai dacă ecuația \(f(x) = 0\) are o singură soluție (rădăcină dublă), adică \(\Delta = 0\).

\[ \Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = m^2 - 4 \]

\[ \Delta = 0 \Rightarrow m^2 - 4 = 0 \Rightarrow m^2 = 4 \Rightarrow m = \pm 2 \]

\(m \in \{-2,\; 2\}\)

5pProblema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(5^{x+2} = 5^x + 24\).

Pas 1. Scriem \(5^{x+2} = 5^2 \cdot 5^x = 25 \cdot 5^x\). Ecuația devine:

\[ 25 \cdot 5^x = 5^x + 24 \Rightarrow 24 \cdot 5^x = 24 \Rightarrow 5^x = 1 = 5^0 \]

Pas 2. Din injectivitatea funcției exponențiale rezultă egalitatea exponenților:

\[ x = 0 \]

\(S = \{0\}\)

5pProblema 4

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte, acesta să aibă cifra zecilor multiplu de \(3\).

Cazuri posibile: Numerele naturale de două cifre sunt \(90\) la număr. Dintre acestea, cele cu cifre egale sunt \(11, 22, \ldots, 99\) → \(9\) numere. Deci numerele de două cifre distincte sunt \(90 - 9 = 81\).

Cazuri favorabile: Multiplii de \(3\) care pot fi cifră a zecilor (cifre nenule de la \(1\) la \(9\)): \(\{3, 6, 9\}\) → \(3\) variante.

Pentru fiecare cifră a zecilor, cifra unităților poate fi orice cifră de la \(0\) la \(9\), diferită de cifra zecilor → \(9\) variante.

\[ \text{Cazuri favorabile} = 3 \times 9 = 27 \]

\[ P = \frac{27}{81} = \frac{1}{3} \]

\(P = \dfrac{1}{3}\)

5pProblema 5

Se consideră triunghiul \(ABC\), punctul \(D\) mijlocul laturii \(AC\) și punctul \(M\) astfel încât \(\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = \vec{0}\). Arătați că dreptele \(MD\) și \(AB\) sunt paralele.

Notăm \(\overrightarrow{AB} = \vec{b}\) și \(\overrightarrow{AC} = \vec{c}\). Exprimăm vectorii din relație față de punctul \(A\):

\[ \overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM}, \quad \overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{AM} + \vec{b}, \quad \overrightarrow{MC} = -\overrightarrow{AM} + \vec{c} \]

Pas 1. Înlocuim în relația dată:

\[ -\overrightarrow{AM} + 2(-\overrightarrow{AM} + \vec{b}) + 3(-\overrightarrow{AM} + \vec{c}) = \vec{0} \]

\[ -6\overrightarrow{AM} + 2\vec{b} + 3\vec{c} = \vec{0} \Rightarrow \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} \]

Pas 2. Deoarece \(D\) este mijlocul lui \(AC\): \(\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{2}\vec{c}\). Calculăm \(\overrightarrow{MD}\):

\[ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c} = -\frac{1}{3}\vec{b} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \]

Concluzie: Deoarece \(\overrightarrow{MD} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\), vectorul \(\overrightarrow{MD}\) este coliniar cu \(\overrightarrow{AB}\), deci dreptele \(MD\) și \(AB\) sunt paralele. \(\checkmark\)

Dreptele \(MD\) și \(AB\) sunt paralele \(\checkmark\)

5pProblema 6

Calculați lungimea laturii \(AB\) a triunghiului \(ABC\), în care \(AC = 3\) și măsurile unghiurilor \(A\) și \(B\) sunt de \(30°\), respectiv \(60°\).

Pas 1. Determinăm unghiul \(C\):

\[ C = 180° - A - B = 180° - 30° - 60° = 90° \]

Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(C\), deci \(AB\) este ipotenuza.

Pas 2. Aplicăm teorema sinusurilor:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \frac{AB}{\sin 90°} = \frac{3}{\sin 60°} \]

\[ AB = \frac{3 \cdot 1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \]

\(AB = 2\sqrt{3}\)