Subiectul I — BAC MI Model 2023

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5pProblema 1
Determinați numerele reale \(a\) și \(b\) pentru care \((a+bi)(1+i) = 4\), unde \(i^2 = -1\).
Rezolvare
Pas 1. Efectuăm produsul, folosind \(i^2 = -1\):
\[ (a+bi)(1+i) = a + ai + bi + bi^2 = (a - b) + (a + b)i \]
Pas 2. Egalăm cu \(4 = 4 + 0 \cdot i\) și identificăm partea reală și partea imaginară:
\[ \begin{cases} a - b = 4 \\ a + b = 0 \end{cases} \]
Pas 3. Adunăm cele două ecuații: \(2a = 4 \Rightarrow a = 2\), apoi \(b = -a = -2\).
\(a = 2,\quad b = -2\)
5pProblema 2
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = mx^2 - 2x + m\), unde \(m\) este număr real nenul. Determinați numerele reale \(m\) pentru care \(f(m-x) = f(m+x)\), pentru orice număr real \(x\).
Rezolvare
Pas 1. Scriem condiția \(f(m-x) = f(m+x)\) echivalent:
\[ m(m-x)^2 - 2(m-x) + m = m(m+x)^2 - 2(m+x) + m \]
Pas 2. Rearanjăm și folosim formula \((m+x)^2 - (m-x)^2 = 4mx\):
\[ m\bigl[(m+x)^2 - (m-x)^2\bigr] = 2(m+x) - 2(m-x) \]
\[ m \cdot 4mx = 4x \Rightarrow 4m^2 x = 4x \Rightarrow 4m^2 x - 4x = 0 \Rightarrow 4x(m^2 - 1) = 0 \]
Pas 3. Condiția trebuie să aibă loc pentru orice \(x \in \mathbb{R}\), deci \(m^2 - 1 = 0\):
\[ m^2 = 1 \Rightarrow m = \pm 1 \]
Ambele valori sunt acceptate deoarece \(m \neq 0\).
\(m \in \{-1,\; 1\}\)
5pProblema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(2\log_2(2x) - 1 = \log_2\!\left(x^2 + x + 2\right)\).
Rezolvare
Condiție de existență: \(2x > 0 \Rightarrow x > 0\). De asemenea, \(x^2 + x + 2 > 0\) pentru orice \(x \in \mathbb{R}\), deoarece \(\Delta = 1 - 8 = -7 < 0\) și coeficientul lui \(x^2\) este pozitiv.
Pas 1. Transformăm membrul stâng, scriind \(1 = \log_2 2\):
\[ \log_2(2x)^2 - \log_2 2 = \log_2\!\left(x^2+x+2\right) \Rightarrow \log_2 \frac{4x^2}{2} = \log_2\!\left(x^2+x+2\right) \]
\[ \log_2(2x^2) = \log_2\!\left(x^2+x+2\right) \]
Pas 2. Din injectivitatea funcției logaritmice:
\[ 2x^2 = x^2 + x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ sau } x = -1 \]
Pas 3. Din condiția de existență \(x > 0\), reținem \(x = 2\).
Probă: \(2\log_2 4 - 1 = 3\) și \(\log_2 8 = 3\) \(\checkmark\)
\(S = \{2\}\)
5pProblema 4
Se consideră mulțimile \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) și \(F = \{f \mid f : A \to A\}\). Determinați probabilitatea ca, alegând un element \(f\) din mulțimea \(F\), acesta să verifice inegalitatea \(f(n) \leq n\), pentru orice \(n \in A\).
Rezolvare
Cazuri posibile: \(|F| = 4^4 = 256\).
Cazuri favorabile: Numărăm funcțiile cu \(f(n) \leq n\) pentru orice \(n \in A\):
— \(f(1) \in \{1\}\): 1 variantă  ·  \(f(2) \in \{1,2\}\): 2 variante  ·  \(f(3) \in \{1,2,3\}\): 3 variante  ·  \(f(4) \in \{1,2,3,4\}\): 4 variante
\[ \text{Cazuri favorabile} = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 \]
\[ P = \frac{24}{256} = \frac{3}{32} \]
\(P = \dfrac{3}{32}\)
5pProblema 5
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(5, 3)\) și \(B(-1, 5)\). Determinați coordonatele punctului \(C\), știind că \(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{OC}\).
Rezolvare
Fie \(C(x, y)\). Scriem vectorii din relație folosind formula \(\overrightarrow{PQ} = (x_Q - x_P)\vec{i} + (y_Q - y_P)\vec{j}\):
\[ \overrightarrow{CA} = (5-x)\vec{i} + (3-y)\vec{j}, \quad \overrightarrow{CB} = (-1-x)\vec{i} + (5-y)\vec{j}, \quad \overrightarrow{OC} = x\vec{i} + y\vec{j} \]
\[ \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = (4-2x)\vec{i} + (8-2y)\vec{j} \quad \text{și} \quad 2\overrightarrow{OC} = 2x\vec{i} + 2y\vec{j} \]
Din \(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{OC}\), identificăm componentele:
\[ 4 - 2x = 2x \Rightarrow x = 1 \quad \text{și} \quad 8 - 2y = 2y \Rightarrow y = 2 \]
\(C(1,\; 2)\)
5pProblema 6
Se consideră triunghiul \(ABC\), cu \(AB = 8\), măsura unghiului \(C\) de \(30°\) și punctul \(O\), centrul cercului circumscris triunghiului \(ABC\). Determinați distanța de la punctul \(O\) la latura \(AB\).
Rezolvare
A B C O M 30°
Pas 1. Determinăm raza cercului circumscris \(R\) prin teorema sinusurilor:
\[ \frac{AB}{\sin C} = 2R \Rightarrow R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{8}{2 \cdot \sin 30°} = \frac{8}{2 \cdot \dfrac{1}{2}} = 8 \]
Pas 2. Fie \(M\) mijlocul lui \(AB\). Deoarece \(O\) este centrul cercului circumscris, \(OM \perp AB\). Avem \(OA = R = 8\) și \(AM = \dfrac{AB}{2} = 4\).
Pas 3. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \(OAM\):
\[ OM^2 = OA^2 - AM^2 = 64 - 16 = 48 \Rightarrow OM = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \]
Distanța de la \(O\) la \(AB\) este \(4\sqrt{3}\)