Subiectul I — BAC MI Model 2024

5pProblema 1

Arătați că \(2(1 - 2i) + i(4 + i) = 1\), unde \(i^2 = -1\).

Pas 1. Calculăm \(2(1 - 2i)\):

\[ 2(1 - 2i) = 2 - 4i \]

Pas 2. Calculăm \(i(4 + i)\), folosind \(i^2 = -1\):

\[ i(4 + i) = 4i + i^2 = 4i + (-1) = -1 + 4i \]

Pas 3. Adunăm, grupând partea reală și cea imaginară:

\[ 2(1-2i) + i(4+i) = (2 - 4i) + (-1 + 4i) = (2 - 1) + (-4 + 4)i = 1 + 0 \cdot i = 1 \checkmark \]

5pProblema 2

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 + ax - a\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care punctul \(A(3, -3)\) aparține graficului funcției \(f\).

Punctul \(A(3, -3)\) aparține graficului funcției \(f\) dacă și numai dacă \(f(3) = -3\):

\[ f(3) = 3^2 + a \cdot 3 - a = 9 + 3a - a = 9 + 2a \]

Impunem condiția \(f(3) = -3\):

\[ 9 + 2a = -3 \Rightarrow 2a = -12 \Rightarrow a = -6 \]

\(a = -6\)

5pProblema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_2\!\left(x^2 + 8\right) = \log_2(8 - 2x)\).

Condiții de existență:

\(x^2 + 8 > 0\): deoarece \(x^2 \geq 0\), avem \(x^2 + 8 \geq 8 > 0\) pentru orice \(x \in \mathbb{R}\) — condiție satisfăcută pe \(\mathbb{R}\).

\(8 - 2x > 0 \Rightarrow x < 4\).

Domeniul de existență: \(x \in (-\infty,\; 4)\).

Pas 1. Din injectivitatea funcției logaritmice:

\[ x^2 + 8 = 8 - 2x \Rightarrow x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0 \]

\[ x = 0 \quad \text{sau} \quad x = -2 \]

Ambele valori satisfac condiția \(x < 4\).

\(S = \{-2,\; 0\}\)

5pProblema 4

Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se pot forma cu elementele mulțimii \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\).

Un număr natural de două cifre are forma \(\overline{ab}\), cu \(a\) — cifra zecilor, \(b\) — cifra unităților, \(a \neq b\) și \(a, b \in A\).

Cifra zecilor \(a\) trebuie să fie pară: \(a \in \{2, 4\}\). Există 2 posibilități.

Cifra unităților \(b\) se alege din \(A\), diferit de \(a\). Din cele 5 elemente ale lui \(A\), eliminând \(a\), rămân 4 posibilități.

Aplicând regula produsului:

\[ \underbrace{2}_{a} \times \underbrace{4}_{b} = 8 \]

8 numere

5pProblema 5

În sistemul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0, 3)\) și \(B(4, 0)\). Determinați coordonatele punctului \(C\) pentru care \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}\).

Pas 1. Calculăm vectorul \(\overrightarrow{OA}\). Formula vectorului determinat de două puncte este:

\[ \overrightarrow{OA} = (x_A - x_O)\vec{i} + (y_A - y_O)\vec{j} \]

Cu \(O(0, 0)\) și \(A(0, 3)\):

\[ \overrightarrow{OA} = 0\vec{i} + 3\vec{j} = 3\vec{j} \]

Pas 2. Calculăm vectorul \(\overrightarrow{OB}\), cu \(O(0, 0)\) și \(B(4, 0)\):

\[ \overrightarrow{OB} = (x_B - x_O)\vec{i} + (y_B - y_O)\vec{j} = 4\vec{i} + 0\vec{j} = 4\vec{i} \]

Pas 3. Calculăm \(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\):

\[ \overrightarrow{OC} = 3\vec{j} + 4\vec{i} = 4\vec{i} + 3\vec{j} \]

Deoarece \(\overrightarrow{OC} = 4\vec{i} + 3\vec{j}\), rezultă \(C(4,\; 3)\).

\(C(4,\; 3)\)

5pProblema 6

Se consideră triunghiul ascuțitunghic \(ABC\), cu \(AB = 5\), \(C = \dfrac{\pi}{4}\) și înălțimea \(AD = 4\). Arătați că \(BC = 7\).

\(D\) este piciorul înălțimii din \(A\) pe \(BC\), deci triunghiurile \(ADB\) și \(ADC\) sunt dreptunghice în \(D\).

Pas 1. Calculăm \(BD\) în triunghiul dreptunghic \(ADB\) (ipotenuza \(AB = 5\), cateta \(AD = 4\)):

\[ BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \]

Pas 2. Calculăm \(DC\) în triunghiul dreptunghic \(ADC\), folosind unghiul \(C = \dfrac{\pi}{4}\):

\[ \operatorname{tg} C = \frac{AD}{DC} \Rightarrow \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = \frac{4}{DC} \Rightarrow 1 = \frac{4}{DC} \Rightarrow DC = 4 \]

Pas 3. Deoarece \(D\) se află pe segmentul \(BC\):

\[ BC = BD + DC = 3 + 4 = 7 \checkmark \]