Subiectul I — BAC MI Model 2025

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5pProblema 1
Se consideră numerele complexe \(z_1 = 4 + i\) și \(z_2 = 2 - 4i\). Arătați că \(i \cdot z_1 + z_2 = 1\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \(i \cdot z_1\), folosind \(i^2 = -1\):
\[ i \cdot z_1 = i(4 + i) = 4i + i^2 = 4i - 1 = -1 + 4i \]
Pas 2. Adunăm cu \(z_2 = 2 - 4i\), grupând partea reală și cea imaginară:
\[ i \cdot z_1 + z_2 = (-1 + 4i) + (2 - 4i) = (-1 + 2) + (4 - 4)i = 1 + 0 \cdot i = 1 \checkmark \]
5pProblema 2
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 - 3x + 5\). Determinați numerele reale \(a\) pentru care punctul \(A(a, 5)\) aparține graficului funcției \(f\).
Rezolvare
Punctul \(A(a, 5)\) aparține graficului funcției \(f\) dacă și numai dacă \(f(a) = 5\):
\[ a^2 - 3a + 5 = 5 \Rightarrow a^2 - 3a = 0 \Rightarrow a(a - 3) = 0 \]
\[ a = 0 \quad \text{sau} \quad a = 3 \]
\(a \in \{0,\; 3\}\)
5pProblema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_6(7x - 5) = \log_6(x + 1) + \dfrac{1}{\log_x 6}\).
Rezolvare
Condiții de existență: \(x > \dfrac{5}{7}\) și \(x \neq 1\).
Pas 1. Simplificăm \(\dfrac{1}{\log_x 6} = \log_6 x\) (schimbarea bazei). Ecuația devine:
\[ \log_6(7x - 5) = \log_6(x + 1) + \log_6 x = \log_6\bigl(x(x + 1)\bigr) \]
Pas 2. Din injectivitatea logaritmului:
\[ 7x - 5 = x^2 + x \Rightarrow x^2 - 6x + 5 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 5) = 0 \]
\[ x = 1 \quad \text{sau} \quad x = 5 \]
Valoarea \(x = 1\) se elimină (nu satisface \(x \neq 1\)). Valoarea \(x = 5\) satisface toate condițiile.
\(S = \{5\}\)
5pProblema 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu al lui \(9\).
Rezolvare
Numărul cazurilor posibile: Numerele naturale de două cifre sunt \(10, 11, \ldots, 99\), deci există \(90\) de numere.
Numărul cazurilor favorabile: Multiplii lui 9 din \([10, 99]\):
\[ 18,\; 27,\; 36,\; 45,\; 54,\; 63,\; 72,\; 81,\; 90,\; 99 \]
Există \(10\) multipli ai lui 9 cu două cifre.
\[ P = \frac{10}{90} = \frac{1}{9} \]
\(P = \dfrac{1}{9}\)
5pProblema 5
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(2, 0)\), \(B(2, 4)\) și \(C(5, a)\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\), știind că dreptele \(OB\) și \(AC\) sunt paralele.
Rezolvare
Pas 1. Calculăm panta dreptei \(OB\), cu \(O(0, 0)\) și \(B(2, 4)\):
\[ m_{OB} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2 \]
Pas 2. Calculăm panta dreptei \(AC\), cu \(A(2, 0)\) și \(C(5, a)\):
\[ m_{AC} = \frac{a - 0}{5 - 2} = \frac{a}{3} \]
Pas 3. Condiția de paralelism \(m_{AC} = m_{OB}\):
\[ \frac{a}{3} = 2 \Rightarrow a = 6 \]
\(a = 6\)
5pProblema 6
Se consideră triunghiul \(ABC\), cu \(AB = 6\), \(BC = 10\) și \(\cos B = \dfrac{4}{5}\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(18\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \(\sin B\) folosind relația fundamentală \(\sin^2 B + \cos^2 B = 1\):
\[ \sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \Rightarrow \sin B = \frac{3}{5} \]
(\(\sin B > 0\) deoarece \(B \in (0°, 180°)\).)
Pas 2. Aplicăm formula ariei cu două laturi și unghiul dintre ele:
\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot BC \cdot \sin B}{2} = \frac{6 \cdot 10 \cdot \dfrac{3}{5}}{2} = \frac{36}{2} = 18 \checkmark \]