Subiectul I — Model BAC Matematică-Informatică 2026

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5pProblema 1
Determinați numărul real \(x\) pentru care numerele \(x\), \(8\) și \(2x+1\) sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Rezolvare
Într-o progresie aritmetică, termenul din mijloc este egal cu media aritmetică a vecinilor săi, deci:
\[ 2 \cdot 8 = x + (2x + 1) \]
\[ 16 = 3x + 1 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5 \]
\(x = 5\)
5pProblema 2
Se consideră funcțiile \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x + 1\) și \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x + 4\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \((f \circ g)(a) = -a\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \((f \circ g)(a) = f(g(a))\):
\[ g(a) = a + 4 \]
\[ f(g(a)) = f(a + 4) = 2(a + 4) + 1 = 2a + 9 \]
Pas 2. Impunem condiția \((f \circ g)(a) = -a\):
\[ 2a + 9 = -a \Rightarrow 3a = -9 \Rightarrow a = -3 \]
\(a = -3\)
5pProblema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(2\log_5 x = \log_5(4x + 5)\).
Rezolvare
Condiții de existență: \(x > 0\) și \(4x + 5 > 0\). Deoarece \(4x + 5 > 0\) pentru orice \(x > 0\), condiția se reduce la \(x > 0\).
Pas 1. Folosim proprietatea \(2\log_5 x = \log_5 x^2\), deci ecuația devine:
\[ \log_5 x^2 = \log_5(4x + 5) \]
Din injectivitatea funcției logaritmice rezultă că:
\[ x^2 = 4x + 5 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow (x - 5)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 5 \text{ sau } x = -1 \]
Deoarece \(x > 0\), valoarea \(x = -1\) se elimină. Valoarea \(x = 5\) satisface condiția de existență.
\(S = \{5\}\)
5pProblema 4
Se consideră mulțimea \(A = \{1, 3, 5, 7, 8\}\). Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor impară, se pot forma cu cifre din mulțimea \(A\).
Rezolvare
Un număr natural de două cifre are forma \(\overline{ab}\), unde \(a\) este cifra zecilor și \(b\) este cifra unităților, cu \(a \neq b\) și \(a, b \in A\).
Cifra zecilor \(a\) trebuie să fie impară, deci \(a \in \{1, 3, 5, 7\}\). Există 4 posibilități pentru alegerea lui \(a\).
Cifra unităților \(b\) se alege din \(A\), diferit de \(a\). Mulțimea \(A\) are 5 elemente; eliminând \(a\), rămân 4 posibilități pentru alegerea lui \(b\).
Aplicând regula produsului, numărul total de numere formate este:
\[ \underbrace{4}_{a} \times \underbrace{4}_{b} = 16 \]
16 numere
5pProblema 5
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0, 5)\) și \(B(3, 4)\). Determinați coordonatele punctului \(C\) pentru care \(3\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\).
Rezolvare
Pas 1. Scriem vectorii \(\overrightarrow{OA}\) și \(\overrightarrow{OB}\) cu ajutorul versorilor \(\vec{i}\) și \(\vec{j}\):
\[ \overrightarrow{OA} = 0\vec{i} + 5\vec{j}, \quad \overrightarrow{OB} = 3\vec{i} + 4\vec{j} \]
Pas 2. Calculăm \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\):
\[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = (0+3)\vec{i} + (5+4)\vec{j} = 3\vec{i} + 9\vec{j} \]
Pas 3. Din condiția \(3\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\) rezultă că \(\overrightarrow{OC} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})\), rezultă că:
\[ \overrightarrow{OC} = \frac{1}{3}(3\vec{i} + 9\vec{j}) = \vec{i} + 3\vec{j} \]
Așadar, \(C(1;\, 3)\).
\(C(1;\, 3)\)
5pProblema 6
Se consideră triunghiul \(ABC\), cu \(A = \dfrac{\pi}{2}\), \(C = \dfrac{\pi}{3}\) și \(AE = 2\), unde \(E\) este punctul în care bisectoarea unghiului \(C\) intersectează latura \(AB\). Arătați că distanța de la punctul \(B\) la dreapta \(CE\) este egală cu \(2\sqrt{3}\).
Rezolvare
A B C E P 2 4 2√3 CE=4 60° d = 2√3
Pas 1. Identificăm unghiurile triunghiului. Deoarece \(A = 90°\) și \(C = 60°\), rezultă că \(B = 180° - 90° - 60° = 30°\).
Pas 2. Calculăm \(AC\). Bisectoarea unghiului \(C\) împarte unghiul \(C = 60°\) în două unghiuri egale de \(30°\). În triunghiul \(ACE\), dreptunghic în \(A\):
\[ \operatorname{tg}(\angle ACE) = \frac{AE}{AC} \Rightarrow \operatorname{tg} 30° = \frac{2}{AC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{AC} \Rightarrow AC = 2\sqrt{3} \]
Pas 3. Calculăm \(AB\). În triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\):
\[ \operatorname{tg}(C) = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \operatorname{tg} 60° = \frac{AB}{2\sqrt{3}} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{AB}{2\sqrt{3}} \Rightarrow AB = 6 \]
Pas 4. Calculăm \(CE\). În triunghiul \(ACE\), dreptunghic în \(A\), cu \(AE = 2\) și \(AC = 2\sqrt{3}\):
\[ CE^2 = AE^2 + AC^2 = 4 + 12 = 16 \Rightarrow CE = 4 \]
Pas 5. Calculăm ariile. Deoarece \(E \in AB\) cu \(AE = 2\) și \(AB = 6\), rezultă \(BE = 4\).
\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{6 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \]
\[ \mathcal{A}_{ACE} = \frac{AE \cdot AC}{2} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \]
\[ \mathcal{A}_{BCE} = \mathcal{A}_{ABC} - \mathcal{A}_{ACE} = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]
Pas 6. Exprimăm aria triunghiului \(BCE\) în funcție de distanța \(d\) de la \(B\) la dreapta \(CE\):
\[ \mathcal{A}_{BCE} = \frac{CE \cdot d}{2} \Rightarrow 4\sqrt{3} = \frac{4 \cdot d}{2} \Rightarrow d = 2\sqrt{3} \checkmark \]