Subiectul I — BAC MI Rezervă Examen Vară 2025

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5pProblema 1
Arătați că \(2(\log_5 10 - \log_5 2) + \log_5 25 = 4\).
Rezolvare
Pas 1. Simplificăm \(\log_5 10 - \log_5 2\) folosind proprietatea logaritmului unui raport:
\[ \log_5 10 - \log_5 2 = \log_5 \frac{10}{2} = \log_5 5 = 1 \]
Pas 2. Calculăm \(\log_5 25\) folosind \(25 = 5^2\):
\[ \log_5 25 = \log_5 5^2 = 2 \]
Pas 3. Înlocuim în expresia dată:
\[ 2(\log_5 10 - \log_5 2) + \log_5 25 = 2 \cdot 1 + 2 = 4 \checkmark \]
5pProblema 2
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x - 4\). Determinați numărul real \(m\) pentru care \(f(2 + m) = 2 - m\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \(f(2 + m)\):
\[ f(2 + m) = (2 + m) - 4 = m - 2 \]
Pas 2. Impunem condiția \(f(2 + m) = 2 - m\):
\[ m - 2 = 2 - m \Rightarrow 2m = 4 \Rightarrow m = 2 \]
\(m = 2\)
5pProblema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(8^x \cdot 2^{1-x} = 2^7\).
Rezolvare
Pas 1. Scriem toți membrii ca puteri ale bazei 2, folosind \(8 = 2^3\):
\[ 8^x \cdot 2^{1-x} = 2^7 \Rightarrow (2^3)^x \cdot 2^{1-x} = 2^7 \Rightarrow 2^{3x} \cdot 2^{1-x} = 2^7 \]
Pas 2. Aplicăm proprietatea \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):
\[ 2^{3x + 1 - x} = 2^7 \Rightarrow 2^{2x+1} = 2^7 \]
Pas 3. Din injectivitatea funcției exponențiale rezultă egalitatea exponenților:
\[ 2x + 1 = 7 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \]
\(S = \{3\}\)
5pProblema 4
Se consideră mulțimea \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Determinați câte dintre numerele naturale de trei cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea \(A\), sunt divizibile cu \(5\).
Rezolvare
Un număr natural de trei cifre are forma \(\overline{abc}\), cu \(a, b, c \in A\) distincte.
Condiția de divizibilitate cu 5: Ultima cifră trebuie să fie 0 sau 5. Deoarece \(0 \notin A\), rezultă că \(c = 5\). Există 1 posibilitate pentru cifra unităților.
Cifra sutelor \(a\) se alege din \(A \setminus \{5\} = \{1, 2, 3, 4, 6\}\). Există 5 posibilități.
Cifra zecilor \(b\) se alege din \(A\), diferit de \(a\) și de \(5\). Rămân 4 posibilități.
\[ \underbrace{5}_{a} \times \underbrace{4}_{b} \times \underbrace{1}_{c=5} = 20 \]
20 numere
5pProblema 5
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0, 1)\), \(B(2, 0)\) și \(C(4, 6)\). Determinați ecuația dreptei \(d\) ce trece prin punctul \(A\) și este paralelă cu dreapta \(BC\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm panta dreptei \(BC\), cu \(B(2, 0)\) și \(C(4, 6)\):
\[ m_{BC} = \frac{6 - 0}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Pas 2. Dreapta \(d\) este paralelă cu \(BC\), deci are aceeași pantă: \(m_d = 3\). Ecuația dreptei care trece printr-un punct \(A(x_A, y_A)\) cu panta \(m\) este:
\[ y - y_A = m(x - x_A) \]
Cu \(A(0, 1)\) și \(m = 3\):
\[ y - 1 = 3(x - 0) \Rightarrow y = 3x + 1 \]
\(y = 3x + 1\)
5pProblema 6
Se consideră expresia \(E(x) = \operatorname{tg} x \cdot \left(\cos\dfrac{3x}{4}\right)^{\!2} - \cos\dfrac{x}{2}\), unde \(x \in \left(0,\, \dfrac{\pi}{2}\right)\). Arătați că \(E\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 0\).
Rezolvare
Înlocuim \(x = \dfrac{\pi}{3}\) în expresia \(E(x)\) și calculăm fiecare termen.
Pas 1. Calculăm \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}\).
Pas 2. Calculăm \(\left(\cos\dfrac{3 \cdot \frac{\pi}{3}}{4}\right)^{\!2} = \left(\cos\dfrac{\pi}{4}\right)^{\!2}\):
\[ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \left(\cos\frac{\pi}{4}\right)^{\!2} = \frac{1}{2} \]
Pas 3. Calculăm \(\cos\dfrac{\frac{\pi}{3}}{2} = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Pas 4. Înlocuim în expresia lui \(E\):
\[ E\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \checkmark \]