Subiectul I — BAC MI Rezervă Sesiunea de Vară 2025

5pProblema 1

Arătați că \(2(\log_5 10 - \log_5 2) + \log_5 25 = 4\).

Pas 1. Simplificăm \(\log_5 10 - \log_5 2\) folosind proprietatea logaritmului unui raport:

\[ \log_5 10 - \log_5 2 = \log_5 \frac{10}{2} = \log_5 5 = 1 \]

Pas 2. Calculăm \(\log_5 25\) folosind \(25 = 5^2\):

\[ \log_5 25 = \log_5 5^2 = 2 \]

Pas 3. Înlocuim în expresia dată:

\[ 2(\log_5 10 - \log_5 2) + \log_5 25 = 2 \cdot 1 + 2 = 4 \checkmark \]

5pProblema 2

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x - 4\). Determinați numărul real \(m\) pentru care \(f(2 + m) = 2 - m\).

Pas 1. Calculăm \(f(2 + m)\):

\[ f(2 + m) = (2 + m) - 4 = m - 2 \]

Pas 2. Impunem condiția \(f(2 + m) = 2 - m\):

\[ m - 2 = 2 - m \Rightarrow 2m = 4 \Rightarrow m = 2 \]

\(m = 2\)

5pProblema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(8^x \cdot 2^{1-x} = 2^7\).

Pas 1. Scriem toți membrii ca puteri ale bazei 2, folosind \(8 = 2^3\):

\[ 8^x \cdot 2^{1-x} = 2^7 \Rightarrow (2^3)^x \cdot 2^{1-x} = 2^7 \Rightarrow 2^{3x} \cdot 2^{1-x} = 2^7 \]

Pas 2. Aplicăm proprietatea \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):

\[ 2^{3x + 1 - x} = 2^7 \Rightarrow 2^{2x+1} = 2^7 \]

Pas 3. Din injectivitatea funcției exponențiale rezultă egalitatea exponenților:

\[ 2x + 1 = 7 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \]

\(S = \{3\}\)

5pProblema 4

Se consideră mulțimea \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Determinați câte dintre numerele naturale de trei cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea \(A\), sunt divizibile cu \(5\).

Un număr natural de trei cifre are forma \(\overline{abc}\), cu \(a\) — cifra sutelor, \(b\) — cifra zecilor, \(c\) — cifra unităților, cu \(a, b, c \in A\) distincte.

Condiția de divizibilitate cu 5: Ultima cifră trebuie să fie 0 sau 5. Deoarece \(0 \notin A\), rezultă că \(c = 5\). Există 1 posibilitate pentru cifra unităților.

Cifra sutelor \(a\) se alege din \(A \setminus \{5\} = \{1, 2, 3, 4, 6\}\). Există 5 posibilități.

Cifra zecilor \(b\) se alege din \(A\), diferit de \(a\) și de \(5\). Din cele 6 elemente ale lui \(A\), eliminând \(a\) și \(5\), rămân 4 posibilități.

Aplicând regula produsului:

\[ \underbrace{5}_{a} \times \underbrace{4}_{b} \times \underbrace{1}_{c=5} = 20 \]

20 numere

5pProblema 5

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0, 1)\), \(B(2, 0)\) și \(C(4, 6)\). Determinați ecuația dreptei \(d\) ce trece prin punctul \(A\) și este paralelă cu dreapta \(BC\).

Pas 1. Calculăm panta dreptei \(BC\), cu \(B(2, 0)\) și \(C(4, 6)\):

\[ m_{BC} = \frac{6 - 0}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Pas 2. Dreapta \(d\) este paralelă cu \(BC\), deci are aceeași pantă: \(m_d = 3\). Ecuația dreptei care trece printr-un punct \(A(x_A, y_A)\) cu panta \(m\) este:

\[ y - y_A = m(x - x_A) \]

Cu \(A(0, 1)\) și \(m = 3\):

\[ y - 1 = 3(x - 0) \Rightarrow y = 3x + 1 \]

\(y = 3x + 1\)

5pProblema 6

Se consideră expresia \(E(x) = \operatorname{tg} x \cdot \left(\cos\dfrac{3x}{4}\right)^{\!2} - \cos\dfrac{x}{2}\), unde \(x \in \left(0,\, \dfrac{\pi}{2}\right)\). Arătați că \(E\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 0\).

Înlocuim \(x = \dfrac{\pi}{3}\) în expresia \(E(x)\) și calculăm fiecare termen.

Pas 1. Calculăm \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}\):

\[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \]

Pas 2. Calculăm \(\left(\cos\dfrac{3 \cdot \frac{\pi}{3}}{4}\right)^{\!2} = \left(\cos\dfrac{\pi}{4}\right)^{\!2}\):

\[ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \left(\cos\frac{\pi}{4}\right)^{\!2} = \frac{1}{2} \]

Pas 3. Calculăm \(\cos\dfrac{\frac{\pi}{3}}{2} = \cos\dfrac{\pi}{6}\):

\[ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Pas 4. Înlocuim în expresia lui \(E\):

\[ E\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \checkmark \]