Subiectul I — BAC MI Sesiunea Specială 2022

5pProblema 1

Arătați că \(5(1+2i) - 2i(5-i) = 3\), unde \(i^2 = -1\).

Efectuăm înmulțirile, folosind \(i^2 = -1\):

\[ 5(1+2i) - 2i(5-i) = 5 + 10i - 10i + 2i^2 \]

Reducem termenii cu \(i\) și înlocuim \(i^2 = -1\):

\[ = 5 + 2i^2 = 5 + 2 \cdot (-1) = 5 - 2 = 3 \quad \checkmark \]

\(5(1+2i) - 2i(5-i) = 3\) \(\checkmark\)

5pProblema 2

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 - 2x - 3\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a) = 1 + a^2\).

Pas 1. Calculăm \(f(a)\):

\[ f(a) = a^2 - 2a - 3 \]

Pas 2. Impunem condiția \(f(a) = 1 + a^2\):

\[ a^2 - 2a - 3 = 1 + a^2 \]

\[ -2a - 3 = 1 \Rightarrow -2a = 4 \Rightarrow a = -2 \]

\(a = -2\)

5pProblema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_3\!\left(2x^2 + 1\right) = 2\).

Condiție de existență: \(2x^2 + 1 > 0\), ceea ce este adevărat pentru orice \(x \in \mathbb{R}\), deoarece \(2x^2 + 1 \geq 1 > 0\).

Pas 1. Scriem ecuația în formă exponențială:

\[ 2x^2 + 1 = 3^2 = 9 \]

Pas 2. Rezolvăm ecuația obținută:

\[ 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \]

\(S = \{-2,\; 2\}\)

5pProblema 4

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele impare și distincte.

Cazuri posibile: Mulțimea numerelor naturale de două cifre este \(\{10, 11, \ldots, 99\}\), deci avem \(90\) de numere.

Cazuri favorabile: Cifrele impare sunt \(\{1, 3, 5, 7, 9\}\) — în total \(5\) cifre impare.

— Cifra zecilor: impară → \(5\) variante

— Cifra unităților: impară și diferită de cifra zecilor → \(4\) variante

\[ \text{Cazuri favorabile} = 5 \times 4 = 20 \]

\[ P = \frac{20}{90} = \frac{2}{9} \]

\(P = \dfrac{2}{9}\)

5pProblema 5

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(2, 0)\), \(B(1, 6)\) și \(C(4, 2)\). Determinați coordonatele punctului \(D\), știind că \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

Fie \(D(x, y)\). Scriem vectorii din relație folosind formula \(\overrightarrow{PQ} = (x_Q - x_P)\vec{i} + (y_Q - y_P)\vec{j}\):

\[ \overrightarrow{AB} = (1-2)\vec{i} + (6-0)\vec{j} = -\vec{i} + 6\vec{j} \]

\[ \overrightarrow{DC} = (4-x)\vec{i} + (2-y)\vec{j} \]

Din \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), identificăm componentele:

\[ 4 - x = -1 \Rightarrow x = 5 \quad \text{și} \quad 2 - y = 6 \Rightarrow y = -4 \]

\(D(5,\; -4)\)

5pProblema 6

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), astfel încât \(BC = 10\) și \(\sin B = 2\sin C\). Arătați că lungimea laturii \(AB\) este egală cu \(2\sqrt{5}\).

Pas 1. Deoarece triunghiul este dreptunghic în \(A\), ipotenuza este \(BC = 10\). Notăm \(AB = c\) și \(AC = b\). Sinusurile unghiurilor \(B\) și \(C\) sunt:

\[ \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{10}, \quad \sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{10} \]

Pas 2. Din condiția \(\sin B = 2\sin C\):

\[ \frac{b}{10} = 2 \cdot \frac{c}{10} \Rightarrow b = 2c \]

Pas 3. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \(ABC\):

\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \Rightarrow c^2 + b^2 = 100 \]

Înlocuim \(b = 2c\):

\[ c^2 + 4c^2 = 100 \Rightarrow 5c^2 = 100 \Rightarrow c^2 = 20 \Rightarrow c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \quad \checkmark \]

\(AB = 2\sqrt{5}\) \(\checkmark\)