Subiectul I — BAC MI Sesiunea Specială 2023

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5pProblema 1
Arătați că \((2-i)^2 + i(4+i) = 2\), unde \(i^2 = -1\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \((2-i)^2\), folosind formula \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) și \(i^2 = -1\):
\[ (2-i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i \]
Pas 2. Calculăm \(i(4+i)\):
\[ i(4+i) = 4i + i^2 = 4i - 1 = -1 + 4i \]
Pas 3. Adunăm rezultatele:
\[ (2-i)^2 + i(4+i) = (3 - 4i) + (-1 + 4i) = 2 \checkmark \]
5pProblema 2
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x + 3\). Determinați numărul real \(m\) pentru care \((f \circ f)(m) = 2m\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \((f \circ f)(m) = f(f(m))\):
\[ f(m) = m + 3 \]
\[ f(f(m)) = f(m + 3) = (m + 3) + 3 = m + 6 \]
Pas 2. Rezolvăm ecuația \(m + 6 = 2m\):
\[ m + 6 = 2m \Rightarrow m = 6 \]
\(m = 6\)
5pProblema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(5^{x+1} - 3 \cdot 5^x = 10\).
Rezolvare
Pas 1. Scriem \(5^{x+1} = 5 \cdot 5^x\) și factorizăm:
\[ 5 \cdot 5^x - 3 \cdot 5^x = 10 \Rightarrow 2 \cdot 5^x = 10 \Rightarrow 5^x = 5 \]
Pas 2. Scriem \(5 = 5^1\) și aplicăm injectivitatea funcției exponențiale:
\[ 5^x = 5^1 \Rightarrow x = 1 \]
\(S = \{1\}\)
5pProblema 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mari sau egale cu 7.
Rezolvare
Cazuri posibile: Numerele naturale de două cifre sunt \(10, 11, \ldots, 99\), deci există \(90\) de numere.
Cazuri favorabile: Cifrele mai mari sau egale cu 7 sunt \(\{7, 8, 9\}\). Un număr de două cifre cu ambele cifre din \(\{7, 8, 9\}\) se formează astfel:
— cifra zecilor: 3 variante \((7, 8, 9)\)
— cifra unităților: 3 variante \((7, 8, 9)\)
\[ \text{Cazuri favorabile} = 3 \times 3 = 9 \]
\[ P = \frac{9}{90} = \frac{1}{10} \]
\(P = \dfrac{1}{10}\)
5pProblema 5
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0, 4)\), \(B(3, -2)\) și \(C(2a, a)\), unde \(a\) este număr real nenul. Arătați că dreptele \(AB\) și \(OC\) sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul \(a\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm panta dreptei \(AB\), cu \(A(0, 4)\) și \(B(3, -2)\):
\[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 4}{3 - 0} = \frac{-6}{3} = -2 \]
Pas 2. Calculăm panta dreptei \(OC\), cu \(O(0, 0)\) și \(C(2a, a)\):
\[ m_{OC} = \frac{a - 0}{2a - 0} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \]
Pas 3. Verificăm condiția de perpendicularitate \(m_{AB} \cdot m_{OC} = -1\):
\[ m_{AB} \cdot m_{OC} = (-2) \cdot \frac{1}{2} = -1 \checkmark \]
Deci dreptele \(AB\) și \(OC\) sunt perpendiculare pentru orice număr real nenul \(a\).
5pProblema 6
Se consideră expresia \(E(x) = \sin x + 4\cos\dfrac{x}{3}\sin\dfrac{2x}{3}\), unde \(x\) este număr real. Arătați că \(E\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 4\).
Rezolvare
Pas 1. Simplificăm produsul \(4\cos\dfrac{x}{3}\sin\dfrac{2x}{3}\) folosind formula \(2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\), cu \(\alpha = \dfrac{2x}{3}\) și \(\beta = \dfrac{x}{3}\):
\[ 4\cos\frac{x}{3}\sin\frac{2x}{3} = 2\left[\sin\!\left(\frac{2x}{3}+\frac{x}{3}\right) + \sin\!\left(\frac{2x}{3}-\frac{x}{3}\right)\right] = 2\left[\sin x + \sin\frac{x}{3}\right] \]
Deci: \(E(x) = \sin x + 2\sin x + 2\sin\dfrac{x}{3} = 3\sin x + 2\sin\dfrac{x}{3}\)
Pas 2. Calculăm \(E\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\), folosind \(\sin\dfrac{\pi}{2} = 1\) și \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\):
\[ E\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3\sin\frac{\pi}{2} + 2\sin\frac{\pi}{6} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 = 4 \checkmark \]