Subiectul I — BAC MI Sesiunea Specială 2024

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5pProblema 1
Determinați termenul \(a_3\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n \geq 1}\), în care \(a_1 = 2\) și \(a_2 = 12\).
Rezolvare
Pas 1. Determinăm rația \(r\) a progresiei aritmetice. Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă și egală cu rația \(\left(a_{n+1} - a_n = r\right)\):
\[ r = a_2 - a_1 = 12 - 2 = 10 \]
Pas 2. Determinăm \(a_3\) folosind relația \(a_3 = a_2 + r\):
\[ a_3 = 12 + 10 = 22 \]
\(a_3 = 22\)
5pProblema 2
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x - 8\). Determinați numărul real \(m\) pentru care \(f(1 + m) = 1 - m\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \(f(1 + m)\):
\[ f(1 + m) = (1 + m) - 8 = m - 7 \]
Pas 2. Impunem condiția \(f(1 + m) = 1 - m\):
\[ m - 7 = 1 - m \Rightarrow 2m = 8 \Rightarrow m = 4 \]
\(m = 4\)
5pProblema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\lg\!\left(x^2 - 3x + 5\right) = \lg 5\).
Rezolvare
Condiție de existență: \(x^2 - 3x + 5 > 0\). Calculăm discriminantul trinomului \(x^2 - 3x + 5\):
\[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 < 0 \]
Deoarece \(\Delta < 0\) și coeficientul lui \(x^2\) este \(1 > 0\), trinomul este pozitiv pentru orice \(x \in \mathbb{R}\). Condiția de existență este îndeplinită pe \(\mathbb{R}\).
Pas 1. Din injectivitatea funcției logaritmice:
\[ x^2 - 3x + 5 = 5 \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \]
\[ x = 0 \quad \text{sau} \quad x = 3 \]
Ambele valori satisfac condiția de existență.
\(S = \{0,\; 3\}\)
5pProblema 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul \(\sqrt{n + 1}\) să fie natural.
Rezolvare
Numărul cazurilor posibile: Numerele naturale de două cifre sunt \(10, 11, \ldots, 99\), deci există \(90\) de numere.
Pas 1. \(\sqrt{n+1}\) este număr natural dacă și numai dacă \(n + 1\) este un pătrat perfect, adică \(n = k^2 - 1\) pentru un \(k\) natural.
Condiția ca \(n\) să fie de două cifre: \(10 \leq k^2 - 1 \leq 99\), deci \(11 \leq k^2 \leq 100\).
\[ k \in \{4,\; 5,\; 6,\; 7,\; 8,\; 9,\; 10\} \quad (k^2 \in \{16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}) \]
Valorile corespunzătoare ale lui \(n\): \(\{15, 24, 35, 48, 63, 80, 99\}\) — există 7 cazuri favorabile.
\[ P = \frac{7}{90} \]
\(P = \dfrac{7}{90}\)
5pProblema 5
În sistemul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1, 2)\), \(B(3, 0)\) și \(C(5, a)\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\), știind că dreptele \(OA\) și \(BC\) sunt paralele.
Rezolvare
Pas 1. Calculăm panta dreptei \(OA\), cu \(O(0, 0)\) și \(A(1, 2)\):
\[ m_{OA} = \frac{y_A - y_O}{x_A - x_O} = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2 \]
Pas 2. Calculăm panta dreptei \(BC\), cu \(B(3, 0)\) și \(C(5, a)\):
\[ m_{BC} = \frac{a - 0}{5 - 3} = \frac{a}{2} \]
Pas 3. Condiția de paralelism \(m_{BC} = m_{OA}\):
\[ \frac{a}{2} = 2 \Rightarrow a = 4 \]
\(a = 4\)
5pProblema 6
Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AC = 9\) și \(B = \dfrac{\pi}{3}\). Arătați că \(AB = 3\sqrt{3}\).
Rezolvare
În triunghiul dreptunghic în \(A\), cateta opusă unghiului \(B\) este \(AC\), iar cateta alăturată este \(AB\):
\[ \operatorname{tg} B = \frac{AC}{AB} \]
\[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \Rightarrow \frac{9}{AB} = \sqrt{3} \Rightarrow AB = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \checkmark \]