Subiectul I — BAC MI Sesiunea Specială 2025

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5pProblema 1
Determinați termenul \(b_1\) al progresiei geometrice \((b_n)_{n \geq 1}\), în care \(b_2 = 20\) și \(b_3 = 100\).
Rezolvare
Pas 1. Determinăm rația \(q\) a progresiei geometrice. Într-o progresie geometrică, raportul dintre doi termeni consecutivi este constant \(\left(\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = q\right)\) și egal cu rația:
\[ q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{100}{20} = 5 \]
Pas 2. Determinăm \(b_1\) folosind relația \(b_2 = b_1 \cdot q\):
\[ b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{20}{5} = 4 \]
\(b_1 = 4\)
5pProblema 2
Se consideră funcțiile \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 4x + 3\) și \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x - 3\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a) = g(a)\).
Rezolvare
Impunem condiția \(f(a) = g(a)\):
\[ 4a + 3 = a - 3 \Rightarrow 3a = -6 \Rightarrow a = -2 \]
\(a = -2\)
5pProblema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(9^x \cdot 3^{-3} = 3^{x+2}\).
Rezolvare
Pas 1. Scriem toți membrii ca puteri ale bazei 3, folosind \(9 = 3^2\):
\[ 9^x \cdot 3^{-3} = 3^{x+2} \Rightarrow (3^2)^x \cdot 3^{-3} = 3^{x+2} \Rightarrow 3^{2x} \cdot 3^{-3} = 3^{x+2} \]
Pas 2. Aplicăm proprietatea \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):
\[ 3^{2x - 3} = 3^{x + 2} \]
Pas 3. Din injectivitatea funcției exponențiale rezultă egalitatea exponenților:
\[ 2x - 3 = x + 2 \Rightarrow x = 5 \]
\(S = \{5\}\)
5pProblema 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea numerelor naturale de două cifre, \(\sqrt{n}\) să fie număr natural par.
Rezolvare
Numărul cazurilor posibile: Numerele naturale de două cifre sunt \(10, 11, \ldots, 99\), deci există \(90\) de numere.
Pas 1. Pentru ca \(\sqrt{n}\) să fie număr natural par, \(n\) trebuie să fie pătratul unui număr natural par. Numerele pare \(k\) cu \(k^2\) de două cifre:
\[ k = 4 \Rightarrow k^2 = 16 \checkmark \quad k = 6 \Rightarrow k^2 = 36 \checkmark \quad k = 8 \Rightarrow k^2 = 64 \checkmark \]
(\(k=2 \Rightarrow k^2=4\) — o cifră; \(k=10 \Rightarrow k^2=100\) — trei cifre.)
Numărul cazurilor favorabile: \(n \in \{16, 36, 64\}\) — există \(3\) cazuri.
\[ P = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \]
\(P = \dfrac{1}{30}\)
5pProblema 5
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1, 3)\), \(B(6, 2)\) și \(C(4, a)\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care dreptele \(AC\) și \(OB\) sunt paralele.
Rezolvare
Pas 1. Calculăm panta dreptei \(OB\), cu \(O(0, 0)\) și \(B(6, 2)\):
\[ m_{OB} = \frac{2 - 0}{6 - 0} = \frac{1}{3} \]
Pas 2. Calculăm panta dreptei \(AC\), cu \(A(1, 3)\) și \(C(4, a)\):
\[ m_{AC} = \frac{a - 3}{4 - 1} = \frac{a - 3}{3} \]
Pas 3. Condiția de paralelism \(m_{AC} = m_{OB}\):
\[ \frac{a - 3}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow a - 3 = 1 \Rightarrow a = 4 \]
\(a = 4\)
5pProblema 6
Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu aria egală cu \(32\) și \(BC = AB\sqrt{2}\). Arătați că \(AC = 8\).
Rezolvare
Pas 1. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \(ABC\):
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
Înlocuim \(BC = AB\sqrt{2}\):
\[ (AB\sqrt{2})^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow 2 \cdot AB^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow AB^2 = AC^2 \Rightarrow AB = AC \]
Pas 2. Triunghiul dreptunghic cu \(AB = AC\) este isoscel. Calculăm aria:
\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{AC^2}{2} = 32 \Rightarrow AC^2 = 64 \Rightarrow AC = 8 \checkmark \]