Subiectul I — BAC MI Sesiunea Specială 2025

5pProblema 1

Determinați termenul \(b_1\) al progresiei geometrice \((b_n)_{n \geq 1}\), în care \(b_2 = 20\) și \(b_3 = 100\).

Pas 1. Determinăm rația \(q\) a progresiei geometrice. Într-o progresie geometrică, raportul dintre doi termeni consecutivi este constant \(\left(\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = q\right)\) și egal cu rația:

\[ q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{100}{20} = 5 \]

Pas 2. Determinăm \(b_1\) folosind relația \(b_2 = b_1 \cdot q\):

\[ b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{20}{5} = 4 \]

\(b_1 = 4\)

5pProblema 2

Se consideră funcțiile \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 4x + 3\) și \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x - 3\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a) = g(a)\).

Impunem condiția \(f(a) = g(a)\):

\[ 4a + 3 = a - 3 \Rightarrow 3a = -6 \Rightarrow a = -2 \]

\(a = -2\)

5pProblema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(9^x \cdot 3^{-3} = 3^{x+2}\).

Pas 1. Scriem toți membrii ca puteri ale bazei 3, folosind \(9 = 3^2\):

\[ 9^x \cdot 3^{-3} = 3^{x+2} \Rightarrow (3^2)^x \cdot 3^{-3} = 3^{x+2} \Rightarrow 3^{2x} \cdot 3^{-3} = 3^{x+2} \]

Pas 2. Aplicăm proprietatea \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):

\[ 3^{2x - 3} = 3^{x + 2} \]

Pas 3. Din injectivitatea funcției exponențiale rezultă egalitatea exponenților:

\[ 2x - 3 = x + 2 \Rightarrow x = 5 \]

\(S = \{5\}\)

5pProblema 4

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea numerelor naturale de două cifre, \(\sqrt{n}\) să fie număr natural par.

Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.

Numărul cazurilor posibile: Numerele naturale de două cifre sunt \(10, 11, \ldots, 99\), deci există \(90\) de numere.

Pas 1. Pentru ca \(\sqrt{n}\) să fie număr natural par, \(n\) trebuie să fie pătratul unui număr natural par. Numerele naturale pare \(k\) pentru care \(k^2\) este număr de două cifre:

\[ k = 4 \Rightarrow k^2 = 16 \checkmark \quad k = 6 \Rightarrow k^2 = 36 \checkmark \quad k = 8 \Rightarrow k^2 = 64 \checkmark \]

(\(k = 2 \Rightarrow k^2 = 4\) — o cifră, nu se ia; \(k = 10 \Rightarrow k^2 = 100\) — trei cifre, nu se ia.)

Numărul cazurilor favorabile: \(n \in \{16,\; 36,\; 64\}\) — există \(3\) cazuri favorabile.

\[ P = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \]

\(P = \dfrac{1}{30}\)

5pProblema 5

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1, 3)\), \(B(6, 2)\) și \(C(4, a)\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care dreptele \(AC\) și \(OB\) sunt paralele.

Pas 1. Calculăm panta dreptei \(OB\), cu \(O(0, 0)\) și \(B(6, 2)\):

\[ m_{OB} = \frac{2 - 0}{6 - 0} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Pas 2. Calculăm panta dreptei \(AC\), cu \(A(1, 3)\) și \(C(4, a)\):

\[ m_{AC} = \frac{a - 3}{4 - 1} = \frac{a - 3}{3} \]

Pas 3. Condiția de paralelism: \(m_{AC} = m_{OB}\):

\[ \frac{a - 3}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow a - 3 = 1 \Rightarrow a = 4 \]

\(a = 4\)

5pProblema 6

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu aria egală cu \(32\) și \(BC = AB\sqrt{2}\). Arătați că \(AC = 8\).

Pas 1. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \(ABC\):

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

Înlocuim \(BC = AB\sqrt{2}\):

\[ (AB\sqrt{2})^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow 2 \cdot AB^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow AB^2 = AC^2 \Rightarrow AB = AC \]

Pas 2. Triunghiul dreptunghic cu \(AB = AC\) este isoscel. Calculăm aria:

\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{AC^2}{2} = 32 \Rightarrow AC^2 = 64 \Rightarrow AC = 8 \checkmark \]