Subiectul I — Simulare BAC Matematică-Informatică 2026

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5p Problema 1
Determinați termenul \(a_2\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n \geq 1}\), în care \(a_1 = 6\) și \(a_3 = 30\).
Rezolvare
Rația: Folosim formula \(a_3 = a_1 + 2r\):
\[ 30 = 6 + 2r \Rightarrow 2r = 24 \Rightarrow r = 12 \]
Termenul \(a_2\):
\[ a_2 = a_1 + r = 6 + 12 = 18 \]
\(a_2 = 18\)
5p Problema 2
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = ax^2 + 2ax - 1\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care \((f \circ f)(0) = 0\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \(f(0)\):
\[ f(0) = a \cdot 0 + 2a \cdot 0 - 1 = -1 \]
Pas 2. Calculăm \((f \circ f)(0) = f(f(0)) = f(-1)\):
\[ f(-1) = a(-1)^2 + 2a(-1) - 1 = a - 2a - 1 = -a - 1 \]
Pas 3. Impunem condiția \((f \circ f)(0) = 0\):
\[ -a - 1 = 0 \Rightarrow a = -1 \]
\(a = -1\)
5p Problema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_2\!\left(2x^2 - 4x + 3\right) = 2\log_2 x\).
Rezolvare
Condiții de existență: \(x > 0\) și \(2x^2 - 4x + 3 > 0\).
Discriminantul \(2x^2 - 4x + 3\): \(\Delta = 16 - 24 = -8 < 0\), iar coeficientul dominant este pozitiv, deci expresia este pozitivă pe \(\mathbb{R}\).
Din \(x > 0\) și \(x \in \mathbb{R}\) rezultă \(x > 0\).
Rezolvare: \(2\log_2 x = \log_2 x^2\), deci ecuația devine:
\[ \log_2(2x^2 - 4x + 3) = \log_2 x^2 \]
Din injectivitatea funcției logaritmice rezultă că:
\[ 2x^2 - 4x + 3 = x^2 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ sau } x = 3 \]
Ambele valori verifică condiția \(x > 0\).
\(S = \{1,\, 3\}\)
5p Problema 4
Se consideră mulțimea \(A = \{2, 4, 5, 6\}\). Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea \(A\).
Rezolvare
Un număr natural de trei cifre are forma \(\overline{abc}\). Dacă \(\overline{abc}\) este par, rezultă că ultima cifră este pară, deci \(c \in \{2, 4, 6\}\). Deducem că pentru alegerea cifrei \(c\) există 3 posibilități.
Dacă ultima cifră este fixată, prima cifră \(a\) poate fi aleasă în 3 moduri (mulțimea \(A\) are 4 elemente; ultima cifră a fost deja aleasă, iar cifrele numărului trebuie să fie distincte, deci rămân \(4 - 1 = 3\) posibilități).
Dacă ultima și prima cifră sunt fixate, cifra din mijloc \(b\) poate fi aleasă în 2 moduri (din cele 4 elemente ale mulțimii \(A\), două au fost deja alese, deci rămân \(4 - 2 = 2\) posibilități).
Aplicând regula produsului, numărul total de numere naturale pare de trei cifre distincte formate cu cifre din mulțimea \(A\) este:
\[ \underbrace{3}_{c} \times \underbrace{3}_{a} \times \underbrace{2}_{b} = 18 \]
18 numere
5p Problema 5
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(6, 4)\) și \(B(1, 3)\). Determinați coordonatele punctului \(C\) pentru care \(2\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OA}\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \(\overrightarrow{OA}\):
\[ \overrightarrow{OA} = (6,\, 4) = 6\vec{i} + 4\vec{j} \]
Pas 2. Din \(2\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OA}\):
\[ \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = (3,\, 2) = 3\vec{i} + 2\vec{j} \]
Pas 3. Fie \(C(x, y)\). Atunci \(\overrightarrow{BC} = (x-1)\vec{i} + (y-3)\vec{j}\).
Din condiția \(2\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OA}\) rezultă că \(\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OA}\), rezultă că \((x-1)\vec{i} + (y-3)\vec{j} = 3\vec{i} + 2\vec{j}\), rezultă că:
\[ \begin{cases} x - 1 = 3 \Rightarrow x = 4 \\ y - 3 = 2 \Rightarrow y = 5 \end{cases} \]
Așadar, \(C(4;\, 5)\).
\(C(4;\, 5)\)
5p Problema 6
Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AC = 6\) și \(\text{tg}\, C = \dfrac{1}{3}\). Arătați că raza cercului circumscris triunghiului \(ABC\) este egală cu \(\sqrt{10}\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \(AB\) din definiția tangentei:
\[ \text{tg}\, C = \frac{AB}{AC} = \frac{AB}{6} = \frac{1}{3} \Rightarrow AB = 2 \]
Pas 2. Calculăm ipotenuza \(BC\) (teorema lui Pitagora):
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 = 4 + 36 = 40 \Rightarrow BC = 2\sqrt{10} \]
Pas 3. Într-un triunghi dreptunghic, raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză:
\[ R = \frac{BC}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10} \]
\(R = \sqrt{10}\) ✓