Subiectul I — BAC MI Simulare 2022

5pProblema 1

Se consideră numerele complexe \(z_1 = 1 - 2i\) și \(z_2 = 2 + i\). Arătați că \((z_1 + i)(z_2 - 1) = 2\), unde \(i^2 = -1\).

Calculăm mai întâi factorii:

\[ z_1 + i = (1-2i) + i = 1 - i \]

\[ z_2 - 1 = (2+i) - 1 = 1 + i \]

Efectuăm produsul, folosind \(i^2 = -1\):

\[ (1-i)(1+i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \quad \checkmark \]

\((z_1+i)(z_2-1) = 2\) \(\checkmark\)

5pProblema 2

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 + 4x + m\), unde \(m\) este număr real. Determinați valorile reale ale lui \(m\) pentru care \(f(x) > 0\), pentru orice număr real \(x\).

Funcția \(f\) este o funcție polinomială de gradul al doilea cu coeficientul lui \(x^2\) egal cu \(1 > 0\). Condiția \(f(x) > 0\) pentru orice \(x \in \mathbb{R}\) este echivalentă cu \(\Delta < 0\):

\[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4m \]

\[ \Delta < 0 \Rightarrow 16 - 4m < 0 \Rightarrow 4m > 16 \Rightarrow m > 4 \]

\(m \in (4, +\infty)\)

5pProblema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(1 + 2\log_2\!\sqrt{x-2} = \log_2 x\).

Condiție de existență radical: \(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\)

Condiție de existență \(\log_2\!\sqrt{x-2}\): \(\sqrt{x-2} > 0 \Rightarrow x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2\)

Condiție de existență \(\log_2 x\): \(x > 0\)

Domeniu de existență: \(x > 2\)

Pas 1. Simplificăm termenul \(2\log_2\!\sqrt{x-2}\), folosind \(\sqrt{x-2} = (x-2)^{1/2}\):

\[ 2\log_2\!\sqrt{x-2} = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_2(x-2) = \log_2(x-2) \]

Pas 2. Scriem \(1 = \log_2 2\) și reunim termenii din membrul stâng:

\[ \log_2 2 + \log_2(x-2) = \log_2 x \Rightarrow \log_2\!\left[2(x-2)\right] = \log_2 x \]

Pas 3. Din injectivitatea funcției logaritmice:

\[ 2(x-2) = x \Rightarrow 2x - 4 = x \Rightarrow x = 4 \]

Verificare: \(x = 4 > 2\) \(\checkmark\) \(1 + 2\log_2\!\sqrt{2} = 1 + 1 = 2 = \log_2 4\) \(\checkmark\)

\(S = \{4\}\)

5pProblema 4

Se consideră mulțimea \(A\) a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea \(A\), acesta să aibă exact doi multipli în mulțimea \(A\).

Cazuri posibile: \(|A| = 90\) (numerele \(10, 11, \ldots, 99\)).

Cazuri favorabile: Multiplii lui \(n\) în \(A\) sunt \(n, 2n, 3n, \ldots\) cu valori în \([10, 99]\). Un număr \(n \in A\) are exact doi multipli în \(A\) dacă \(2n \in A\) și \(3n \notin A\):

— \(2n \leq 99 \Rightarrow n \leq 49\)

— \(3n > 99 \Rightarrow n > 33\), deci \(n \geq 34\)

\[ n \in \{34, 35, \ldots, 49\} \Rightarrow \text{cazuri favorabile} = 49 - 34 + 1 = 16 \]

\[ P = \frac{16}{90} = \frac{8}{45} \]

\(P = \dfrac{8}{45}\)

5pProblema 5

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(-2, -2)\), \(B(3, 1)\) și \(M(2, 4)\). Determinați coordonatele punctului \(N\), știind că patrulaterul \(ABMN\) este paralelogram.

Metoda 1. Fie \(N(x, y)\). Scriem condiția că \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{NM}\) (laturi opuse egale și paralele), folosind formula \(\overrightarrow{PQ} = (x_Q - x_P)\vec{i} + (y_Q - y_P)\vec{j}\):

\[ \overrightarrow{AB} = (3-(-2))\vec{i} + (1-(-2))\vec{j} = 5\vec{i} + 3\vec{j} \]

\[ \overrightarrow{NM} = (2-x)\vec{i} + (4-y)\vec{j} \]

Din \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{NM}\), identificăm componentele:

\[ 2 - x = 5 \Rightarrow x = -3 \quad \text{și} \quad 4 - y = 3 \Rightarrow y = 1 \]

Metoda 2. Diagonalele unui paralelogram au același mijloc. Notăm cu \(P\) mijlocul comun al diagonalelor \(AM\) și \(BN\).

Mijlocul diagonalei \(AM\):

\[ P\!\left(\frac{-2+2}{2},\; \frac{-2+4}{2}\right) = P(0,\; 1) \]

Fie \(N(x, y)\). Mijlocul diagonalei \(BN\) este tot \(P(0, 1)\):

\[ \frac{3+x}{2} = 0 \Rightarrow x = -3 \quad \text{și} \quad \frac{1+y}{2} = 1 \Rightarrow y = 1 \]

\(N(-3,\; 1)\)

5pProblema 6

Se consideră triunghiul \(ABC\), în care \(\sin(A+B) + \cos C = 1\). Arătați că triunghiul \(ABC\) este dreptunghic.

Pas 1. În orice triunghi \(A + B + C = 180°\), deci \(A + B = 180° - C\). Rezultă:

\[ \sin(A+B) = \sin(180° - C) = \sin C \]

Pas 2. Înlocuim în relația dată:

\[ \sin C + \cos C = 1 \]

Pas 3. Scriem \(\sin C = 1 - \cos C\) și ridicăm la pătrat:

\[ \sin^2 C = (1 - \cos C)^2 \]

Înlocuim \(\sin^2 C = 1 - \cos^2 C\):

\[ 1 - \cos^2 C = 1 - 2\cos C + \cos^2 C \]

\[ 0 = 2\cos^2 C - 2\cos C \Rightarrow 2\cos C(\cos C - 1) = 0 \]

Pas 4. Deoarece \(C \in (0°, 180°)\), avem \(\cos C \neq 1\), deci \(\cos C = 0 \Rightarrow C = 90°\).

Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(C\). \(\checkmark\)

Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic \(\checkmark\)