Subiectul I — BAC MI Simulare 2023

5pProblema 1

Se consideră numerele complexe \(z_1 = 1 + 2i\) și \(z_2 = 1 - i\). Arătați că \(z_1^2 + 4z_2 = 1\).

Pas 1. Calculăm \(z_1^2\), folosind formula \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) și \(i^2 = -1\):

\[ z_1^2 = (1+2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i \]

Pas 2. Calculăm \(4z_2\):

\[ 4z_2 = 4(1-i) = 4 - 4i \]

Pas 3. Adunăm rezultatele:

\[ z_1^2 + 4z_2 = (-3 + 4i) + (4 - 4i) = 1 \checkmark \]

5pProblema 2

Se consideră funcțiile \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x + 1\) și \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x^2 + x + m\), unde \(m\) este număr real. Determinați numărul real \(m\) pentru care graficele funcțiilor \(f\) și \(g\) au exact un punct comun.

Graficele funcțiilor \(f\) și \(g\) au exact un punct comun dacă și numai dacă ecuația \(f(x) = g(x)\) are exact o soluție:

\[ 3x + 1 = x^2 + x + m \Rightarrow x^2 - 2x + (m-1) = 0 \]

Această ecuație de gradul al doilea are exact o soluție dacă și numai dacă discriminantul este zero:

\[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m-1) = 4 - 4m + 4 = 8 - 4m \]

\[ \Delta = 0 \Rightarrow 8 - 4m = 0 \Rightarrow m = 2 \]

\(m = 2\)

5pProblema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\lg\!\left(x^2 + 9\right) = 2\lg\!\left(x\sqrt{10}\right)\).

Condiție de existență: Deoarece \(x^2 \geq 0\) pentru orice \(x \in \mathbb{R}\), avem \(x^2 + 9 \geq 9 > 0\), deci \(\lg(x^2+9)\) este definit pentru orice \(x \in \mathbb{R}\). De asemenea, \(x\sqrt{10} > 0 \Rightarrow x > 0\), deci domeniul de lucru este \(x > 0\).

Pas 1. Scriem membrul drept folosind proprietatea \(n\lg a = \lg a^n\):

\[ 2\lg\!\left(x\sqrt{10}\right) = \lg\!\left(x\sqrt{10}\right)^2 = \lg\!\left(10x^2\right) \]

Pas 2. Din injectivitatea funcției logaritmice:

\[ x^2 + 9 = 10x^2 \Rightarrow 9 = 9x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \]

Pas 3. Din condiția de existență \(x > 0\), reținem \(x = 1\).

Probă: \(\lg(1 + 9) = \lg 10 = 1\) și \(2\lg\sqrt{10} = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1\) \(\checkmark\)

\(S = \{1\}\)

5pProblema 4

Se consideră mulțimea \(A\), a numerelor naturale de cel mult două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea \(A\), acesta să fie divizibil cu 9.

Cazuri posibile: Numerele naturale de cel mult două cifre sunt \(0, 1, 2, \ldots, 99\), deci \(|A| = 100\).

Cazuri favorabile: Numerele din \(A\) divizibile cu 9:

\[ 0,\; 9,\; 18,\; 27,\; 36,\; 45,\; 54,\; 63,\; 72,\; 81,\; 90,\; 99 \quad \text{— 12 numere} \]

\[ P = \frac{12}{100} = \frac{3}{25} \]

\(P = \dfrac{3}{25}\)

5pProblema 5

În triunghiul \(ABC\), punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AC\), iar punctele \(D\) și \(E\) aparțin segmentului \(AB\), astfel încât \(AD = BE\). Arătați că \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{CB}\).

Pas 1. Descompunem ambii vectori prin punctul \(A\):

\[ \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD}) + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE}) = 2\overrightarrow{MA} + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}) \]

Pas 2. Deoarece \(AD = BE = EB\), vectorii \(\overrightarrow{AD}\) și \(\overrightarrow{EB}\) au aceeași lungime și același sens pe \(AB\), deci \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{EB}\). Înlocuim și aplicăm regula triunghiului:

\[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB} \]

Pas 3. Deoarece \(M\) este mijlocul lui \(AC\), avem \(2\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{CA}\). Deci:

\[ \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} \checkmark \]

5pProblema 6

Determinați \(x \in [0, \pi]\) pentru care \(\sin 2x = 1 + \cos 2x\).

Pas 1. Folosim formula \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\) și \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\):

\[ 2\sin x \cos x = 2\cos^2 x \]

\[ 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 \Rightarrow 2\cos x(\sin x - \cos x) = 0 \]

Pas 2. Rezolvăm fiecare factor pe \([0, \pi]\):

Cazul 1: \(\cos x = 0\) și \(x \in [0, \pi]\) \(\Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2}\)

Cazul 2: \(\sin x = \cos x\) \(\Rightarrow \operatorname{tg} x = 1\) și \(x \in [0, \pi]\) \(\Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4}\)

Verificare:

\(x = \dfrac{\pi}{4}\): \(\sin\dfrac{\pi}{2} = 1\) și \(1 + \cos\dfrac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1\) \(\checkmark\)

\(x = \dfrac{\pi}{2}\): \(\sin\pi = 0\) și \(1 + \cos\pi = 1 - 1 = 0\) \(\checkmark\)

\(x \in \left\{\dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{\pi}{2}\right\}\)