Subiectul I — BAC MI Simulare 2025

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5pProblema 1
Determinați termenul \(b_1\) al progresiei geometrice \((b_n)_{n \geq 1}\), în care \(b_3 = 40\) și \(b_4 = 80\).
Rezolvare
Pas 1. Determinăm rația \(q\) a progresiei geometrice. Într-o progresie geometrică, raportul dintre doi termeni consecutivi este constant \(\left(\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = q\right)\) și egal cu rația:
\[ q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{80}{40} = 2 \]
Pas 2. Determinăm \(b_1\). Deoarece \(b_3 = b_1 \cdot q^2\):
\[ b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{40}{4} = 10 \]
\(b_1 = 10\)
5pProblema 2
Determinați mulțimea numerelor reale \(m\) pentru care graficul funcției \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 - 2x + m\) intersectează axa \(Ox\) în două puncte distincte.
Rezolvare
Graficul intersectează axa \(Ox\) în două puncte distincte dacă și numai dacă ecuația \(f(x) = 0\) are două soluții reale distincte, adică discriminantul este strict pozitiv.
\[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m \]
Condiția \(\Delta > 0\):
\[ 4 - 4m > 0 \Rightarrow m < 1 \]
\(m \in (-\infty,\; 1)\)
5pProblema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(3^x + 2 \cdot 3^{x+1} = 63\).
Rezolvare
Pas 1. Scriem \(3^{x+1} = 3 \cdot 3^x\) și dăm factor comun \(3^x\):
\[ 3^x + 2 \cdot 3 \cdot 3^x = 63 \Rightarrow 3^x(1 + 6) = 63 \Rightarrow 7 \cdot 3^x = 63 \]
\[ 3^x = 9 = 3^2 \]
Pas 2. Din injectivitatea funcției exponențiale rezultă egalitatea exponenților:
\[ x = 2 \]
\(S = \{2\}\)
5pProblema 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea numerelor naturale de două cifre, \(n^2\) să fie număr natural de trei cifre.
Rezolvare
Numărul cazurilor posibile: Numerele naturale de două cifre sunt \(10, 11, \ldots, 99\), deci există \(90\) de numere.
Pas 1. Condiția ca \(n^2\) să fie număr de trei cifre: \(100 \leq n^2 \leq 999\).
\[ \sqrt{100} \leq n \leq \sqrt{999} \Rightarrow 10 \leq n \leq 31{,}6\ldots \]
Deci \(n \in \{10, 11, \ldots, 31\}\) — toate numere de două cifre.
Numărul cazurilor favorabile: \(31 - 10 + 1 = 22\).
\[ P = \frac{22}{90} = \frac{11}{45} \]
\(P = \dfrac{11}{45}\)
5pProblema 5
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1, 2)\), \(B(7, 4)\) și \(C\), astfel încât \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AC}\). Determinați coordonatele punctului \(D\) pentru care \(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{CB}\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm vectorul \(\overrightarrow{AB}\). Formula vectorului determinat de punctele \(A(x_A, y_A)\) și \(B(x_B, y_B)\) este:
\[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j} \]
Cu \(A(1, 2)\) și \(B(7, 4)\):
\[ \overrightarrow{AB} = (7 - 1)\vec{i} + (4 - 2)\vec{j} = 6\vec{i} + 2\vec{j} \]
Pas 2. Determinăm coordonatele lui \(C\). Din \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AC}\) rezultă \(\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\):
\[ \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(6\vec{i} + 2\vec{j}) = 3\vec{i} + \vec{j} \]
Scriem \(\overrightarrow{AC}\) cu formula, unde \(C(x_C, y_C)\):
\[ \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A)\vec{i} + (y_C - y_A)\vec{j} = (x_C - 1)\vec{i} + (y_C - 2)\vec{j} \]
Identificând componentele: \(x_C - 1 = 3 \Rightarrow x_C = 4\) și \(y_C - 2 = 1 \Rightarrow y_C = 3\), deci \(C(4,\; 3)\).
Pas 3. Calculăm vectorul \(\overrightarrow{CB}\):
\[ \overrightarrow{CB} = (x_B - x_C)\vec{i} + (y_B - y_C)\vec{j} = (7 - 4)\vec{i} + (4 - 3)\vec{j} = 3\vec{i} + \vec{j} \]
Pas 4. Din \(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{CB}\) rezultă că \(D\) are coordonatele egale cu componentele vectorului \(\overrightarrow{CB}\):
\[ \overrightarrow{OD} = 3\vec{i} + \vec{j} \Rightarrow D(3,\; 1) \]
\(D(3,\; 1)\)
5pProblema 6
Se consideră triunghiul ascuțitunghic \(ABC\), cu \(AB = 10\), înălțimea \(AD = 8\) și distanța de la punctul \(D\) la dreapta \(AC\) egală cu \(4\sqrt{2}\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(56\).
Rezolvare
B C A D 6 8 8 10
\(D\) este piciorul înălțimii din \(A\) pe \(BC\), deci \(AD \perp BC\) și \(D \in BC\).
Pas 1. Determinăm \(BD\). În triunghiul dreptunghic \(ABD\) (dreptunghic în \(D\)):
\[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \Rightarrow 100 = 64 + BD^2 \Rightarrow BD = 6 \]
Pas 2. Determinăm \(DC\). Fie \(DC = t\). Aria \(\triangle ACD = \dfrac{AC \cdot d(D, AC)}{2}\), dar și \(\dfrac{AD \cdot DC}{2} = \dfrac{8t}{2}\), deci:
\[ \frac{AC \cdot 4\sqrt{2}}{2} = 4t \Rightarrow AC \cdot 2\sqrt{2} = 4t \quad (1) \]
Pas 3. Din teorema lui Pitagora în \(\triangle ACD\):
\[ AC^2 = AD^2 + DC^2 = 64 + t^2 \quad (2) \]
Pas 4. Din (1): \(AC = t\sqrt{2}\). Înlocuim în (2):
\[ 2t^2 = 64 + t^2 \Rightarrow t^2 = 64 \Rightarrow DC = t = 8 \]
Pas 5. Calculăm aria:
\[ BC = BD + DC = 6 + 8 = 14 \]
\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{BC \cdot AD}{2} = \frac{14 \cdot 8}{2} = 56 \checkmark \]