Subiectul I — BAC MI Examen Toamnă 2022

5pProblema 1

Arătați că \(2i(3-i) - 6i = 2\), unde \(i^2 = -1\).

Efectuăm înmulțirea, folosind \(i^2 = -1\):

\[ 2i(3-i) - 6i = 6i - 2i^2 - 6i \]

Reducem termenii cu \(i\) și înlocuim \(i^2 = -1\):

\[ = -2i^2 = -2 \cdot (-1) = 2 \quad \checkmark \]

\(2i(3-i) - 6i = 2\) \(\checkmark\)

5pProblema 2

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 - mx\), unde \(m\) este număr real. Determinați numărul real \(m\) pentru care \(f(-1) = f(1)\).

Pas 1. Calculăm \(f(-1)\) și \(f(1)\):

\[ f(-1) = (-1)^2 - m \cdot (-1) = 1 + m \]

\[ f(1) = 1^2 - m \cdot 1 = 1 - m \]

Pas 2. Impunem condiția \(f(-1) = f(1)\):

\[ 1 + m = 1 - m \Rightarrow 2m = 0 \Rightarrow m = 0 \]

\(m = 0\)

5pProblema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(27^{x-1} = 9^x\).

Pas 1. Scriem ambii membri ca puteri ale lui \(3\):

\[ 27^{x-1} = \left(3^3\right)^{x-1} = 3^{3(x-1)} = 3^{3x-3} \]

\[ 9^x = \left(3^2\right)^x = 3^{2x} \]

Pas 2. Ecuația devine \(3^{3x-3} = 3^{2x}\).

Din injectivitatea funcției exponențiale rezultă egalitatea exponenților:

\[ 3x - 3 = 2x \Rightarrow x = 3 \]

\(S = \{3\}\)

5pProblema 4

Determinați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mici sau egale cu \(3\).

Cazuri posibile: Mulțimea numerelor naturale de două cifre este \(\{10, 11, \ldots, 99\}\), deci avem \(90\) de numere.

Cazuri favorabile: Ambele cifre trebuie să fie \(\leq 3\).

— Cifra zecilor poate fi \(1, 2\) sau \(3\) (nu poate fi \(0\), deoarece numărul are două cifre): \(3\) variante

— Cifra unităților poate fi \(0, 1, 2\) sau \(3\): \(4\) variante

\[ \text{Cazuri favorabile} = 3 \times 4 = 12 \]

\[ P = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \]

\(P = \dfrac{2}{15}\)

5pProblema 5

În sistemul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(3, 2)\) și \(B(1, -1)\). Determinați coordonatele punctului \(C\) pentru care \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{BC}\).

Fie \(C(x, y)\). Scriem vectorii din relație folosind formula \(\overrightarrow{PQ} = (x_Q - x_P)\vec{i} + (y_Q - y_P)\vec{j}\):

\[ \overrightarrow{AC} = (x-3)\vec{i} + (y-2)\vec{j}, \quad \overrightarrow{BC} = (x-1)\vec{i} + (y+1)\vec{j} \]

Din \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{BC}\), identificăm componentele:

\[ x - 3 = 2(x-1) \Rightarrow x - 3 = 2x - 2 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1 \]

\[ y - 2 = 2(y+1) \Rightarrow y - 2 = 2y + 2 \Rightarrow -y = 4 \Rightarrow y = -4 \]

\(C(-1,\; -4)\)

5pProblema 6

Se consideră expresia \(E(x) = \sin 2x - 2\operatorname{tg} x \cdot \sin\dfrac{2x}{3}\), unde \(x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\). Arătați că \(E\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0\).

Calculăm valoarea fiecărui termen pentru \(x = \dfrac{\pi}{4}\):

\[ \sin\!\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1 \]

\[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1 \]

\[ \sin\!\left(\frac{2 \cdot \frac{\pi}{4}}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \]

Înlocuim în expresia \(E\):

\[ E\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0 \quad \checkmark \]

\(E\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0\) \(\checkmark\)