Subiectul I — BAC MI Examen Toamnă 2023

5pProblema 1

Determinați termenul \(a_6\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n \geq 1}\), cu \(a_1 = 3\) și \(a_5 = 23\).

Pas 1. Determinăm rația \(r\) a progresiei aritmetice. Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă și egală cu rația \(\left(a_{n+1} - a_n = r\right)\). Folosim relația \(a_5 = a_1 + 4r\):

\[ 23 = 3 + 4r \Rightarrow 4r = 20 \Rightarrow r = 5 \]

Pas 2. Determinăm \(a_6\) folosind relația \(a_6 = a_5 + r\):

\[ a_6 = 23 + 5 = 28 \]

\(a_6 = 28\)

5pProblema 2

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 - 6x + 8\). Determinați numărul real \(m\), știind că punctul \(A(m, -1)\) aparține graficului funcției \(f\).

Punctul \(A(m, -1)\) aparține graficului funcției \(f\) dacă și numai dacă \(f(m) = -1\):

\[ m^2 - 6m + 8 = -1 \Rightarrow m^2 - 6m + 9 = 0 \Rightarrow (m - 3)^2 = 0 \Rightarrow m = 3 \]

\(m = 3\)

5pProblema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(3^{2x-1} = 9 \cdot 3^{x+1}\).

Pas 1. Scriem toți membrii ca puteri ale bazei 3, folosind \(9 = 3^2\):

\[ 3^{2x-1} = 3^2 \cdot 3^{x+1} \]

Pas 2. Aplicăm proprietatea \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):

\[ 3^{2x-1} = 3^{x+3} \]

Pas 3. Din injectivitatea funcției exponențiale rezultă egalitatea exponenților:

\[ 2x - 1 = x + 3 \Rightarrow x = 4 \]

\(S = \{4\}\)

5pProblema 4

Se consideră mulțimea \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\). Determinați numărul submulțimilor nevide ale mulțimii \(A\), care au cel mult două elemente.

Submulțimi cu 1 element (câte un element din \(A\)):

\[ C_5^1 = 5 \]

Submulțimi cu 2 elemente:

\[ C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \]

Total submulțimi nevide cu cel mult două elemente:

\[ 5 + 10 = 15 \]

15 submulțimi

5pProblema 5

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(3, 1)\) și \(B(4, 4)\). Determinați coordonatele punctului \(C\), știind că \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{BC}\).

Pas 1. Calculăm vectorul \(\overrightarrow{OA}\). Formula vectorului determinat de două puncte este:

\[ \overrightarrow{OA} = (x_A - x_O)\vec{i} + (y_A - y_O)\vec{j} \]

Cu \(O(0, 0)\) și \(A(3, 1)\):

\[ \overrightarrow{OA} = 3\vec{i} + \vec{j} \]

Pas 2. Scriem \(\overrightarrow{BC}\) cu formula, unde \(C(x_C, y_C)\):

\[ \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B)\vec{i} + (y_C - y_B)\vec{j} = (x_C - 4)\vec{i} + (y_C - 4)\vec{j} \]

Pas 3. Din condiția \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{BC}\), identificând componentele:

\[ x_C - 4 = 3 \Rightarrow x_C = 7 \quad \text{și} \quad y_C - 4 = 1 \Rightarrow y_C = 5 \]

Deci \(C(7,\; 5)\).

\(C(7,\; 5)\)

5pProblema 6

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB = 6\) și înălțimea \(AD = 3\). Arătați că raza cercului circumscris triunghiului \(ABC\) este egală cu \(2\sqrt{3}\).

Pas 1. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este diametrul cercului circumscris, deci \(R = \dfrac{BC}{2}\). Calculăm \(BC\).

Pas 2. Egalăm cele două expresii ale ariei triunghiului \(ABC\):

\[ \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{BC \cdot AD}{2} \Rightarrow AB \cdot AC = BC \cdot AD \Rightarrow 6 \cdot AC = BC \cdot 3 \Rightarrow AC = \frac{BC}{2} \]

Pas 3. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul \(ABC\):

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + \frac{BC^2}{4} \Rightarrow \frac{3BC^2}{4} = 36 \Rightarrow BC^2 = 48 \Rightarrow BC = 4\sqrt{3} \]

Pas 4. Calculăm raza:

\[ R = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \checkmark \]