Pas 1. Determinăm rația \(r\) a progresiei aritmetice. Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă și egală cu rația \(\left(a_{n+1} - a_n = r\right)\):

\[ r = a_3 - a_2 = 18 - 14 = 4 \]

Pas 2. Determinăm \(a_1\) folosind relația \(a_2 = a_1 + r\):

\[ a_1 = a_2 - r = 14 - 4 = 10 \]

Pas 1. Calculăm \(f(5)\):

\[ f(5) = 5 + 2 = 7 \]

Pas 2. Calculăm \((f \circ f)(5) = f(f(5)) = f(7)\):

\[ f(7) = 7 + 2 = 9 \checkmark \]

Pas 1. Observăm că \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\). Ecuația devine:

\[ \sqrt[3]{(x+1)^2} = \sqrt[3]{1-x} \]

Pas 2. Funcția radical de ordin trei este bijectivă pe \(\mathbb{R}\), deci \(\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{b} \Leftrightarrow a = b\). Ridicăm la cub ambii membri:

\[ (x+1)^2 = 1-x \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 1 - x \Rightarrow x^2 + 3x = 0 \]

\[ x(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{sau} \quad x = -3 \]

Probă: Ambele valori satisfac ecuația (radicalul de ordin trei este definit pe \(\mathbb{R}\)).

Un număr natural de două cifre are forma \(\overline{ab}\), cu \(a\) — cifra zecilor, \(b\) — cifra unităților, \(a \neq b\) și \(a, b \in A\).

Cifra unităților \(b\) trebuie să fie impară (pentru ca numărul să fie impar): \(b \in \{1, 3, 7, 9\}\). Există 4 posibilități.

Cifra zecilor \(a\) se alege din \(A\), diferit de \(b\). Din cele 5 elemente ale lui \(A\), eliminând \(b\), rămân 4 posibilități.

Aplicând regula produsului:

\[ \underbrace{4}_{b} \times \underbrace{4}_{a} = 16 \]

Pas 1. Calculăm vectorul \(\overrightarrow{OA}\). Formula vectorului determinat de punctele \(O(x_O, y_O)\) și \(A(x_A, y_A)\) este:

\[ \overrightarrow{OA} = (x_A - x_O)\vec{i} + (y_A - y_O)\vec{j} \]

Cu \(O(0, 0)\) și \(A(2, 1)\):

\[ \overrightarrow{OA} = 2\vec{i} + \vec{j} \]

Pas 2. Calculăm \(2\overrightarrow{OA}\):

\[ 2\overrightarrow{OA} = 2(2\vec{i} + \vec{j}) = 4\vec{i} + 2\vec{j} \]

Pas 3. Scriem \(\overrightarrow{AB}\) cu formula, unde \(B(x_B, y_B)\):

\[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j} = (x_B - 2)\vec{i} + (y_B - 1)\vec{j} \]

Din condiția \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{OA}\), identificând componentele:

\[ x_B - 2 = 4 \Rightarrow x_B = 6 \quad \text{și} \quad y_B - 1 = 2 \Rightarrow y_B = 3 \]

Deci \(B(6,\; 3)\).

Pas 1. Determinăm \(AB\):

\[ AB = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Pas 2. Determinăm cateta \(AC\) prin teorema lui Pitagora:

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow 144 = 36 + AC^2 \Rightarrow AC^2 = 108 \Rightarrow AC = 6\sqrt{3} \]

Pas 3. Calculăm aria triunghiului dreptunghic \(ABC\):

\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = \frac{36\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \checkmark \]