Subiectul I — BAC MI Examen Vară 2022

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5pProblema 1
Arătați că \(8 - 6\sqrt{6} + 6\!\left(\sqrt{6} - 1\right) = 2\).
Rezolvare
Efectuăm înmulțirea și grupăm termenii cu \(\sqrt{6}\):
\[ 8 - 6\sqrt{6} + 6\!\left(\sqrt{6} - 1\right) = 8 - 6\sqrt{6} + 6\sqrt{6} - 6 \]
Reducem termenii asemenea:
\[ = 8 - 6 + \left(-6\sqrt{6} + 6\sqrt{6}\right) = 2 + 0 = 2 \quad \checkmark \]
\(8 - 6\sqrt{6} + 6(\sqrt{6}-1) = 2\) \(\checkmark\)
5pProblema 2
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x + m\), unde \(m\) este număr real. Determinați numărul real \(m\) pentru care \((f \circ f)(0) = 4\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \(f(0)\):
\[ f(0) = 3 \cdot 0 + m = m \]
Pas 2. Calculăm \((f \circ f)(0) = f(f(0)) = f(m)\):
\[ f(m) = 3m + m = 4m \]
Pas 3. Impunem condiția \((f \circ f)(0) = 4\):
\[ 4m = 4 \Rightarrow m = 1 \]
\(m = 1\)
5pProblema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(3 \cdot 2^{2x} + 4^x = 4\).
Rezolvare
Pas 1. Observăm că \(2^{2x} = \left(2^2\right)^x = 4^x\). Notăm \(t = 4^x\), unde \(t > 0\):
\[ 3t + t = 4 \Rightarrow 4t = 4 \Rightarrow t = 1 \]
Pas 2. Revenim la substituție: \(4^x = 1 = 4^0\).
Din injectivitatea funcției exponențiale rezultă egalitatea exponenților:
\[ x = 0 \]
\(S = \{0\}\)
5pProblema 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor divizor al numărului \(6\).
Rezolvare
Cazuri posibile: Mulțimea numerelor naturale de două cifre este \(\{10, 11, \ldots, 99\}\), deci avem \(90\) de numere.
Cazuri favorabile: Divizorii lui \(6\) sunt \(1, 2, 3, 6\). Cifra zecilor poate fi \(1, 2, 3\) sau \(6\).
— Cifra zecilor \(= 1\): numerele \(10, 11, \ldots, 19\) → \(10\) numere
— Cifra zecilor \(= 2\): numerele \(20, 21, \ldots, 29\) → \(10\) numere
— Cifra zecilor \(= 3\): numerele \(30, 31, \ldots, 39\) → \(10\) numere
— Cifra zecilor \(= 6\): numerele \(60, 61, \ldots, 69\) → \(10\) numere
\[ \text{Cazuri favorabile} = 4 \times 10 = 40 \]
\[ P = \frac{40}{90} = \frac{4}{9} \]
\(P = \dfrac{4}{9}\)
5pProblema 5
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră dreapta \(d\) de ecuație \(y = 3x - 2\) și punctul \(A(a, a)\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\), știind că punctul \(A\) aparține dreptei \(d\).
Rezolvare
Deoarece \(A(a, a)\) aparține dreptei \(d\) de ecuație \(y = 3x - 2\), coordonatele lui \(A\) verifică ecuația dreptei:
\[ a = 3a - 2 \]
\[ a - 3a = -2 \Rightarrow -2a = -2 \Rightarrow a = 1 \]
\(a = 1\)
5pProblema 6
Se consideră triunghiul isoscel \(ABC\), cu \(AB = 10\) și \(\cos A = 0\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(50\).
Rezolvare
A B C 10 10
Pas 1. Din \(\cos A = 0\) rezultă \(A = 90°\), deci triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\).
Pas 2. Triunghiul isoscel \(ABC\) are vârful la \(A\), deci laturile egale sunt \(AB = AC = 10\).
Pas 3. Aria triunghiului dreptunghic se calculează folosind cele două catete:
\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{10 \cdot 10}{2} = \frac{100}{2} = 50 \quad \checkmark \]
Aria triunghiului \(ABC\) este \(50\) \(\checkmark\)