Subiectul I — BAC MI Examen Vară 2022

5pProblema 1

Arătați că \(8 - 6\sqrt{6} + 6\!\left(\sqrt{6} - 1\right) = 2\).

Efectuăm înmulțirea și grupăm termenii cu \(\sqrt{6}\):

\[ 8 - 6\sqrt{6} + 6\!\left(\sqrt{6} - 1\right) = 8 - 6\sqrt{6} + 6\sqrt{6} - 6 \]

Reducem termenii asemenea:

\[ = 8 - 6 + \left(-6\sqrt{6} + 6\sqrt{6}\right) = 2 + 0 = 2 \quad \checkmark \]

\(8 - 6\sqrt{6} + 6(\sqrt{6}-1) = 2\) \(\checkmark\)

5pProblema 2

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x + m\), unde \(m\) este număr real. Determinați numărul real \(m\) pentru care \((f \circ f)(0) = 4\).

Pas 1. Calculăm \(f(0)\):

\[ f(0) = 3 \cdot 0 + m = m \]

Pas 2. Calculăm \((f \circ f)(0) = f(f(0)) = f(m)\):

\[ f(m) = 3m + m = 4m \]

Pas 3. Impunem condiția \((f \circ f)(0) = 4\):

\[ 4m = 4 \Rightarrow m = 1 \]

\(m = 1\)

5pProblema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(3 \cdot 2^{2x} + 4^x = 4\).

Pas 1. Observăm că \(2^{2x} = \left(2^2\right)^x = 4^x\). Notăm \(t = 4^x\), unde \(t > 0\):

\[ 3t + t = 4 \Rightarrow 4t = 4 \Rightarrow t = 1 \]

Pas 2. Revenim la substituție: \(4^x = 1 = 4^0\).

Din injectivitatea funcției exponențiale rezultă egalitatea exponenților:

\[ x = 0 \]

\(S = \{0\}\)

5pProblema 4

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor divizor al numărului \(6\).

Cazuri posibile: Mulțimea numerelor naturale de două cifre este \(\{10, 11, \ldots, 99\}\), deci avem \(90\) de numere.

Cazuri favorabile: Divizorii lui \(6\) sunt \(1, 2, 3, 6\). Cifra zecilor poate fi \(1, 2, 3\) sau \(6\).

— Cifra zecilor \(= 1\): numerele \(10, 11, \ldots, 19\) → \(10\) numere

— Cifra zecilor \(= 2\): numerele \(20, 21, \ldots, 29\) → \(10\) numere

— Cifra zecilor \(= 3\): numerele \(30, 31, \ldots, 39\) → \(10\) numere

— Cifra zecilor \(= 6\): numerele \(60, 61, \ldots, 69\) → \(10\) numere

\[ \text{Cazuri favorabile} = 4 \times 10 = 40 \]

\[ P = \frac{40}{90} = \frac{4}{9} \]

\(P = \dfrac{4}{9}\)

5pProblema 5

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră dreapta \(d\) de ecuație \(y = 3x - 2\) și punctul \(A(a, a)\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\), știind că punctul \(A\) aparține dreptei \(d\).

Deoarece \(A(a, a)\) aparține dreptei \(d\) de ecuație \(y = 3x - 2\), coordonatele lui \(A\) verifică ecuația dreptei:

\[ a = 3a - 2 \]

\[ a - 3a = -2 \Rightarrow -2a = -2 \Rightarrow a = 1 \]

\(a = 1\)

5pProblema 6

Se consideră triunghiul isoscel \(ABC\), cu \(AB = 10\) și \(\cos A = 0\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(50\).

Pas 1. Din \(\cos A = 0\) rezultă \(A = 90°\), deci triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\).

Pas 2. Triunghiul isoscel \(ABC\) are vârful la \(A\), deci laturile egale sunt \(AB = AC = 10\).

Pas 3. Aria triunghiului dreptunghic se calculează folosind cele două catete:

\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{10 \cdot 10}{2} = \frac{100}{2} = 50 \quad \checkmark \]

Aria triunghiului \(ABC\) este \(50\) \(\checkmark\)