Subiectul I — BAC MI Examen Vară 2023

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5pProblema 1
Se consideră numărul complex \(z = 3 + i\). Arătați că \(z(z - 2i) = 10\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \(z - 2i\):
\[ z - 2i = (3 + i) - 2i = 3 - i \]
Pas 2. Calculăm produsul \(z(z - 2i) = (3 + i)(3 - i)\), folosind formula \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) și \(i^2 = -1\):
\[ (3 + i)(3 - i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 10 \checkmark \]
5pProblema 2
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 5x + 1\). Arătați că \(f(2x) - 2f(x) = -1\), pentru orice număr real \(x\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \(f(2x)\):
\[ f(2x) = 5 \cdot 2x + 1 = 10x + 1 \]
Pas 2. Calculăm \(2f(x)\):
\[ 2f(x) = 2(5x + 1) = 10x + 2 \]
Pas 3. Calculăm diferența:
\[ f(2x) - 2f(x) = (10x + 1) - (10x + 2) = -1 \checkmark \]
5pProblema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt[3]{x^3 - 2x + 2} = x\).
Rezolvare
Pas 1. Funcția radical de ordin trei este bijectivă pe \(\mathbb{R}\), deci ecuația \(\sqrt[3]{a} = b\) este echivalentă cu \(a = b^3\). Ridicăm la cub ambii membri:
\[ x^3 - 2x + 2 = x^3 \]
Pas 2. Reducem \(x^3\) și rezolvăm:
\[ -2x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \]
Probă: \(\sqrt[3]{1 - 2 + 2} = \sqrt[3]{1} = 1 \checkmark\)
\(S = \{1\}\)
5pProblema 4
Se consideră mulțimea \(A\), a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea \(A\), numărul \(n + 5\) să fie multiplu de \(10\).
Rezolvare
Numărul cazurilor posibile: Numerele naturale de două cifre sunt \(10, 11, \ldots, 99\), deci există \(90\) de numere.
Pas 1. \(n + 5\) este multiplu de \(10\) dacă și numai dacă \(n \equiv 5 \pmod{10}\), adică cifra unităților lui \(n\) este \(5\).
Numerele de două cifre cu cifra unităților \(5\):
\[ 15,\; 25,\; 35,\; 45,\; 55,\; 65,\; 75,\; 85,\; 95 \quad \text{— 9 numere} \]
\[ P = \frac{9}{90} = \frac{1}{10} \]
\(P = \dfrac{1}{10}\)
5pProblema 5
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(4, 0)\) și \(B(5, 4)\). Determinați ecuația dreptei \(d\) care trece prin punctul \(O\) și este paralelă cu dreapta \(AB\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm panta dreptei \(AB\), cu \(A(4, 0)\) și \(B(5, 4)\):
\[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - 0}{5 - 4} = 4 \]
Pas 2. Dreapta \(d\) este paralelă cu \(AB\), deci are aceeași pantă \(m = 4\). Trece prin \(O(0, 0)\), deci ecuația ei este:
\[ y - 0 = 4(x - 0) \Rightarrow y = 4x \]
\(y = 4x\)
5pProblema 6
Se consideră triunghiul isoscel \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu aria egală cu \(4\). Arătați că \(BC = 4\).
Rezolvare
Pas 1. Deoarece triunghiul este isoscel și dreptunghic în \(A\), cele două catete sunt egale: \(AB = AC\). Calculăm aria:
\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{AB^2}{2} = 4 \Rightarrow AB^2 = 8 \Rightarrow AB = 2\sqrt{2} \]
Pas 2. Calculăm ipotenuza \(BC\) prin teorema lui Pitagora:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 = 8 + 8 = 16 \Rightarrow BC = 4 \checkmark \]