Subiectul I — BAC MI Examen Vară 2024

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5pProblema 1
Arătați că \(2\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 5\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \(2\lg 100\), folosind \(100 = 10^2\) și proprietatea \(\lg 10^n = n\):
\[ 2\lg 100 = 2\lg 10^2 = 2 \cdot 2 = 4 \]
Pas 2. Calculăm \(\lg 2 + \lg 5\), folosind proprietatea produsului \(\lg a + \lg b = \lg(ab)\):
\[ \lg 2 + \lg 5 = \lg(2 \cdot 5) = \lg 10 = 1 \]
Pas 3. Adunăm rezultatele:
\[ 2\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 4 + 1 = 5 \checkmark \]
5pProblema 2
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x - 6\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a) + f(3a) = 0\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \(f(a)\) și \(f(3a)\):
\[ f(a) = a - 6 \qquad f(3a) = 3a - 6 \]
Pas 2. Impunem condiția \(f(a) + f(3a) = 0\):
\[ (a - 6) + (3a - 6) = 0 \Rightarrow 4a - 12 = 0 \Rightarrow a = 3 \]
\(a = 3\)
5pProblema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(5^{3x} \cdot 5^2 = 5^x\).
Rezolvare
Pas 1. Aplicăm proprietatea \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):
\[ 5^{3x+2} = 5^x \]
Pas 2. Din injectivitatea funcției exponențiale rezultă egalitatea exponenților:
\[ 3x + 2 = x \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1 \]
\(S = \{-1\}\)
5pProblema 4
Determinați câte submulțimi cu două elemente, ambele numere pare, are mulțimea \(A = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}\).
Rezolvare
Pas 1. Identificăm numerele pare din \(A\):
\[ \{2,\; 4,\; 6,\; 8\} \quad \text{— 4 numere pare} \]
Pas 2. Numărul submulțimilor cu două elemente alese din cele 4 numere pare:
\[ C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \]
6 submulțimi
5pProblema 5
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(3, 1)\) și \(B(3, 0)\). Determinați coordonatele punctului \(C\) pentru care \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB}\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm vectorul \(\overrightarrow{OB}\). Formula vectorului determinat de punctele \(O(x_O, y_O)\) și \(B(x_B, y_B)\) este:
\[ \overrightarrow{OB} = (x_B - x_O)\vec{i} + (y_B - y_O)\vec{j} \]
Cu \(O(0, 0)\) și \(B(3, 0)\):
\[ \overrightarrow{OB} = 3\vec{i} + 0\vec{j} = 3\vec{i} \]
Pas 2. Scriem \(\overrightarrow{AC}\) cu formula, unde \(C(x_C, y_C)\):
\[ \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A)\vec{i} + (y_C - y_A)\vec{j} = (x_C - 3)\vec{i} + (y_C - 1)\vec{j} \]
Pas 3. Din condiția \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB}\), identificând componentele:
\[ x_C - 3 = 3 \Rightarrow x_C = 6 \quad \text{și} \quad y_C - 1 = 0 \Rightarrow y_C = 1 \]
\(C(6,\; 1)\)
5pProblema 6
Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu aria egală cu \(18\) și \(B = \dfrac{\pi}{4}\). Arătați că \(AB = 6\).
Rezolvare
Pas 1. Determinăm relația dintre catete folosind unghiul \(B = \dfrac{\pi}{4}\). În triunghiul dreptunghic în \(A\), cateta opusă unghiului \(B\) este \(AC\), iar cateta alăturată este \(AB\):
\[ \operatorname{tg} B = \frac{AC}{AB} \]
\[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1 \Rightarrow \frac{AC}{AB} = 1 \Rightarrow AC = AB \]
Pas 2. Calculăm aria triunghiului dreptunghic, cu catetele \(AB\) și \(AC = AB\):
\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{AB^2}{2} = 18 \Rightarrow AB^2 = 36 \Rightarrow AB = 6 \checkmark \]