Subiectul I — BAC MI Examen Vară 2025

6 probleme · 5 puncte fiecare · 30 puncte total · mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

5pProblema 1
Se consideră numerele complexe \(z_1 = 1 - i\) și \(z_2 = 2 + i\). Arătați că \(2z_1 + iz_2 = 1\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \(2z_1\):
\[ 2z_1 = 2(1 - i) = 2 - 2i \]
Pas 2. Calculăm \(iz_2\), folosind \(i^2 = -1\):
\[ iz_2 = i(2 + i) = 2i + i^2 = 2i - 1 = -1 + 2i \]
Pas 3. Adunăm, grupând partea reală și cea imaginară:
\[ 2z_1 + iz_2 = (2 - 2i) + (-1 + 2i) = 1 + 0 \cdot i = 1 \checkmark \]
5pProblema 2
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x + 3\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \((f \circ f)(a) = 9\).
Rezolvare
Pas 1. Calculăm \((f \circ f)(a) = f(f(a))\):
\[ f(a) = a + 3, \quad f(f(a)) = (a + 3) + 3 = a + 6 \]
Pas 2. Impunem condiția:
\[ a + 6 = 9 \Rightarrow a = 3 \]
\(a = 3\)
5pProblema 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{2x^2 - 3x + 2} = x\).
Rezolvare
Condiția de existență: Expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă: \(2x^2 - 3x + 2 \geq 0\). Discriminantul \(\Delta = 9 - 16 = -7 < 0\), coeficientul lui \(x^2\) pozitiv, deci condiția are loc pe \(\mathbb{R}\).
Condiția de compatibilitate: Membrul stâng este nenegativ (radical), deci și membrul drept trebuie să fie nenegativ: \(x \geq 0\). Cele două condiții conduc la \(x \in [0, +\infty)\).
Pas 1. Ridicăm la pătrat ambii membri:
\[ \left(\sqrt{2x^2 - 3x + 2}\right)^2 = x^2 \Rightarrow 2x^2 - 3x + 2 = x^2 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) = 0 \]
\[ x = 1 \quad \text{sau} \quad x = 2 \]
Ambele valori aparțin intervalului \([0, +\infty)\).
Probă: \(x=1\): \(\sqrt{2-3+2} = \sqrt{1} = 1\) ✓    \(x=2\): \(\sqrt{8-6+2} = \sqrt{4} = 2\) ✓
\(S = \{1,\; 2\}\)
5pProblema 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor al numărului \(2^6\).
Rezolvare
Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
Numărul cazurilor posibile: 90 (numerele \(10, 11, \ldots, 99\)).
Pas 1. \(2^6 = 64\). Divizorii lui 64: \(\{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64\}\).
Numărul cazurilor favorabile: Divizorii de două cifre: \(16,\; 32,\; 64\) → 3 cazuri.
\[ P = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \]
\(P = \dfrac{1}{30}\)
5pProblema 5
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0, 1)\), \(B(5, 0)\), \(C(6, 3)\) și \(D(a, b)\). Determinați \(a\) și \(b\), știind că segmentele \(AC\) și \(BD\) au același mijloc.
Rezolvare
Pas 1. Calculăm coordonatele mijlocului segmentului \(AC\). Notăm acest punct cu \(M\). Formula mijlocului unui segment cu capetele \(A(x_A, y_A)\) și \(C(x_C, y_C)\) este:
\[ M\!\left(\frac{x_A + x_C}{2},\; \frac{y_A + y_C}{2}\right) \]
Cu \(A(0, 1)\) și \(C(6, 3)\): \(\displaystyle M\!\left(\frac{0+6}{2},\; \frac{1+3}{2}\right)\), deci \(M(3,\; 2)\).
Pas 2. Calculăm coordonatele mijlocului segmentului \(BD\). Notăm cu \(M'\). Cu \(B(5, 0)\) și \(D(a, b)\):
\[ M'\!\left(\frac{5 + a}{2},\; \frac{b}{2}\right) \]
Pas 3. Punem condiția ca \(M\) să coincidă cu \(M'\):
\[ \begin{cases} \dfrac{5+a}{2} = 3 \\[10pt] \dfrac{b}{2} = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5+a = 6 \Rightarrow a = 1 \\[4pt] b = 4 \end{cases} \]
\(a = 1,\quad b = 4\)
5pProblema 6
Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB = 2\) și \(\operatorname{tg} B = 3\). Arătați că \(BC = 2\sqrt{10}\).
Rezolvare
A B C 2 6 2√10
Pas 1. \(\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{AB} \Rightarrow 3 = \dfrac{AC}{2} \Rightarrow AC = 6\).
Pas 2. Teorema lui Pitagora:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 = 4 + 36 = 40 \Rightarrow BC = 2\sqrt{10} \checkmark \]