În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\). Punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) aparțin cercului, astfel încât \(AB\) este diametru. Dreptele \(CD\) și \(AB\) sunt paralele, semidreapta \(AC\) este bisectoarea unghiului \(BAD\) și \(CD = 16\) cm.
(2p) a) Arată că \(AD = 16\) cm.
(3p) b) Calculează aria patrulaterului \(ABCD\).
a) Folosește proprietatea bisectoarei și paralelismul \(CD \parallel AB\) pentru a arăta că triunghiul \(DAC\) este isoscel cu \(DA = DC\).
b) Arată că triunghiul \(ACB\) este dreptunghic în \(C\) cu un unghi de \(30^\circ\). Construiește înălțimea trapezului și determin-o prin funcții trigonometrice.
▶ Click pe fiecare pas pentru a-l deschide
Din \((1)\) și \((2)\):
\[ \widehat{DCA} \equiv \widehat{DAC} \]Triunghiul \(DAC\) are două unghiuri congruente, deci este isoscel cu baza \(AC\):
\[ DA = DC \tag{3} \]Din ipoteză: \(CD = 16\) cm \(\quad (4)\)
▶ Click pe fiecare pas pentru a-l deschide
\(AB \parallel CD\) și \(ABCD\) inscris în cerc \(\Rightarrow AD = BC \Rightarrow\) \(ABCD\) trapez isoscel.
Știm că \(AD = DC\) (din a)) și \(AD = BC\), deci:
\[ AD = CD = BC \overset{(4)}{=} 16 \text{ cm} \]
\(ABCD\) trapez isoscel, \(AD = BC\) \(\Rightarrow \widehat{DAB} \equiv \widehat{ABC}\) \(\quad (5)\)
Notăm \(m(\widehat{CAB}) = x\) \((1)\). Din a): \(AC\) bisectoare \(\Rightarrow m(\widehat{DAB}) = 2x\).
Din \((5)\): \(m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{DAB}) = 2x \quad (6)\)
În \(\triangle ACB\), suma unghiurilor:
\[ 90^\circ + x + 2x = 180^\circ \implies 3x = 90^\circ \implies x = 30^\circ \]
În \(\triangle ACB\): \(m(\widehat{ACB}) = 90^\circ\), \(m(\widehat{CAB}) = 30^\circ\). Prin teorema 30°:
\[ CB = \frac{AB}{2} \implies AB = 2 \cdot CB = 2 \cdot 16 = 32 \text{ cm} \]Construim \(CE \perp AB\), \(E \in AB\). În \(\triangle CEB\) dreptunghic în \(E\), cu \(m(\widehat{CBE}) = 60^\circ\):
\[ \sin 60^\circ = \frac{CE}{CB} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{CE}{16} \] \[ CE = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ cm} \quad (7) \]