În paralelogramul \(ABCD\), \(AB = 15\) cm, înălțimea corespunzătoare bazei \(AB\) este \(h = 8\) cm. Punctul \(M\) se află pe latura \(AB\) astfel încât \(AM = AD = \dfrac{2}{3} \cdot AB\). Dreapta \(DM\) intersectează dreapta \(BC\) în punctul \(N\).
a) Calculează perimetrul paralelogramului \(ABCD\).
b) Calculează aria triunghiului \(NCD\).
a) Calculează \(AM = AD = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10\) cm. Folosește proprietatea că laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
b) Determină \(MB = 5\) cm. Demonstrează că \(\triangle AMD \sim \triangle BMN\) (unghiuri opuse la vârf și alterne interne cu \(AD \parallel BC\)) și calculează raportul de asemănare \(k = 2\). Folosește \(k\) pentru a afla distanța de la \(N\) la dreapta \(DC\), apoi aplică formula ariei triunghiului.
▶ Click pe fiecare pas pentru a-l deschide
Din condiția problemei \(AM = AD = \dfrac{2}{3} \cdot AB\):
\[ AM = AD = \frac{2}{3} \cdot AB = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10 \text{ cm} \]Deoarece \(M \in AB\), rezultă:
\[ MB = AB - AM = 15 - 10 = 5 \text{ cm} \]
Într-un paralelogram, laturile opuse sunt congruente:
\[ AB = CD = 15 \text{ cm}, \qquad AD = BC = 10 \text{ cm} \]
Perimetrul paralelogramului:
\[ \mathcal{P}_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(15 + 10) \]▶ Click pe fiecare pas pentru a-l deschide
Pe latura \(AB\): \(MB = AB - AM = 15 - 10 = 5\) cm.
Prelungim dreapta \(DM\) până intersectează dreapta \(BC\) în punctul \(N\). Deoarece \(BC \parallel AD\), punctul \(N\) se află dincolo de \(B\), sub dreapta \(AB\).
Cum \(AD \parallel BC\), în triunghiurile \(\triangle AMD\) și \(\triangle BMN\):
- \(\measuredangle AMD \equiv \measuredangle BMN\) — unghiuri opuse la vârf în \(M\)
- \(\measuredangle DAM \equiv \measuredangle NBM\) — unghiuri alterne interne (\(AD \parallel BN\))
Prin criteriul U.U.: \(\triangle AMD \sim \triangle BMN\)
Raportul de asemănare:
\[ k = \frac{AM}{MB} = \frac{10}{5} = 2 \]Înălțimea paralelogramului este distanța dintre dreptele \(AB\) și \(DC\): \(d(D, AB) = 8\) cm.
Din asemănarea \(\triangle AMD \sim \triangle BMN\) cu \(k = 2\), distanța de la \(N\) la \(AB\) este de \(k\) ori mai mică decât distanța de la \(D\) la \(AB\):
\[ d(N, AB) = \frac{d(D, AB)}{k} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm} \]Deoarece \(DC \parallel AB\) și \(N\) se află de partea opusă față de \(DC\):
\[ d(N, DC) = d(D, AB) + d(N, AB) = 8 + 4 = 12 \text{ cm} \]
Triunghiul \(NCD\) are baza \(DC = 15\) cm și înălțimea \(d(N, DC) = 12\) cm:
\[ \mathcal{A}_{\triangle NCD} = \frac{DC \cdot d(N, DC)}{2} = \frac{15 \cdot 12}{2} \]