Trapezul dreptunghic \(ABCD\): \(AD \parallel BC\), \(AD = DC = 18\) cm, \(AB = 36\) cm, \(\angle A = \angle D = 90°\).
\(E\) pe \(AB\) cu \(CE \perp AB\) → \(\angle CEA = 90°\), deci \(CE \parallel AD\).
În \(\triangle BCE\): \(\angle E = 90°\), \(\angle B = 45°\) (din datele problemei) → \(\angle BCE = 45°\) → \(\triangle BCE\) dreptunghic isoscel.
Deci \(BE = CE\).
\(BC = 18\) cm, \(\angle B = 45°\): \(BE = CE = 18 \cdot \cos 45° \cdot \sqrt{2} = 18\) cm.
(Sau direct: în \(\triangle BCE\) isoscel dreptunghic cu \(BC = 18\sqrt{2}/\sqrt{2}\) → \(BE = CE = 18\) cm.)
\(AE = AB - BE = 36 - 18 = 18\) cm \(= AD = DC = CE = 18\) cm.
\(AECD\) are toate laturile egale (\(18\) cm) și \(\angle A = \angle DCE = \angle CEA = 90°\).
Sistem de coordonate: \(A(0,0)\), \(B(36,0)\), \(C(18,18)\), \(D(0,18)\), \(E(18,0)\).
Dreapta \(AC\): \(y = x\). Dreapta \(BD\): \(B(36,0)\), \(D(0,18)\) → \(\dfrac{x}{36} + \dfrac{y}{18} = 1\) → \(y = 18 - \dfrac{x}{2}.\)
\(M = AC \cap BD\): \(x = 18 - x/2\) → \(\dfrac{3x}{2} = 18\) → \(x = 12\), \(y = 12\). Deci \(M(12, 12).\)
\(N = CE \cap BD\): Dreapta \(CE\): \(C(18,18)\), \(E(18,0)\) → \(x = 18\) (verticală).
Pe dreapta \(BD\): \(y = 18 - 18/2 = 9\). Deci \(N(18, 9).\)
\(MN = \sqrt{(18-12)^2 + (9-12)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\) cm.