Problema 1 — Geometrie în Spațiu

💡 Indicații

a) Deoarece \(M\), \(N\), \(P\) sunt mijloacele muchiilor \(AD\), \(DC\), \(DD'\), avem \(DM = DN = DP = 4\) cm. Aplică teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice \(\triangle MDN\), \(\triangle NDP\) și \(\triangle PDM\) pentru a arăta că \(MN = NP = MP = 4\sqrt{2}\) cm. Concluzionează că \(\triangle MNP\) este echilateral și aplică formula ariei.

b) Calculează volumul piramidei \(D'MNP\) în două moduri. Metoda 1: consideră baza \(\triangle D'NP\) aflată în fața \(DD'C'C\): \(\mathcal{A}(\triangle D'NP) = \frac{D'P \cdot DN}{2} = 8\) cm², iar înălțimea din \(M\) este \(MD = 4\) cm (deoarece \(AD \perp (DD'C'C)\)). Metoda 2: folosește baza \(MNP\) și egalează cele două expresii pentru a determina distanța.

✏️ Rezolvare

a) Aria triunghiului \(MNP\)

▶ Click pe fiecare pas pentru a-l deschide

▶ Pas 1 — Calculăm \(DM\), \(DN\) și \(DP\)

Deoarece \(M\), \(N\), \(P\) sunt mijloacele muchiilor \(AD\), \(DC\), respectiv \(DD'\):

\[ DM = \frac{AD}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}, \quad DN = \frac{DC}{2} = 4 \text{ cm}, \quad DP = \frac{DD'}{2} = 4 \text{ cm} \]

▶ Pas 2 — Calculăm \(MN\), \(NP\) și \(MP\) (Teorema lui Pitagora)

Muchiile cubului sunt perpendiculare două câte două, deci unghiurile din \(D\) sunt drepte.

În \(\triangle MDN\) dreptunghic în \(D\) (\(AD \perp DC\)):

\[ MN^2 = DM^2 + DN^2 = 4^2 + 4^2 = 32 \implies MN = 4\sqrt{2} \text{ cm} \]

Analog, în \(\triangle NDP\) dreptunghic în \(D\) (\(DC \perp DD'\)):

\[ NP^2 = DN^2 + DP^2 = 4^2 + 4^2 = 32 \implies NP = 4\sqrt{2} \text{ cm} \]

Analog, în \(\triangle MDP\) dreptunghic în \(D\) (\(AD \perp DD'\)):

\[ MP^2 = DM^2 + DP^2 = 4^2 + 4^2 = 32 \implies MP = 4\sqrt{2} \text{ cm} \]

\(MN = NP = MP = 4\sqrt{2}\) cm \(\implies \triangle MNP\) este echilateral cu latura \(l = 4\sqrt{2}\) cm.

▶ Pas 3 — Calculăm aria \(\triangle MNP\)

Formula ariei triunghiului echilateral cu latura \(l = 4\sqrt{2}\) cm:

\[ \mathcal{A}_{\triangle MNP} = \frac{l^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{32\sqrt{3}}{4} \]

Triunghiul echilateral MNP cu latura 4√2 cm

\[ \mathcal{A}_{\triangle MNP} = 8\sqrt{3} \text{ cm}^2 \quad \checkmark \]

b) Distanța de la \(D'\) la planul \((MNP)\)

▶ Click pe fiecare pas pentru a-l deschide

▶ Pas 1 — Calculăm volumul piramidei \(D'MNP\)

Considerăm piramida \(M\ D'NP\) (vârf \(M\), baza \(\triangle D'NP\)).

Baza \(\triangle D'NP\) se află în fața \(DD'C'C\). Deoarece \(D'P = DP = 4\) cm și \(DN = 4\) cm:

\[ \mathcal{A}(\triangle D'NP) = \frac{D'P \cdot DN}{2} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8 \text{ cm}^2 \]

Deoarece \(AD \perp (DD'C'C)\), înălțimea din \(M\) pe planul \((D'NP)\) este \(MD = 4\) cm.

\[ V_{D'MNP} = \frac{1}{3} \cdot \mathcal{A}(\triangle D'NP) \cdot MD = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 4 = \frac{32}{3} \text{ cm}^3 \]

▶ Pas 2 — Determinăm distanța \(d(D', (MNP))\)

Folosim aceeași piramidă \(D'MNP\) cu baza \(\triangle MNP\) și vârf \(D'\):

\[ V_{D'MNP} = \frac{1}{3} \cdot \mathcal{A}(\triangle MNP) \cdot d(D', (MNP)) \]

Înlocuim valorile cunoscute:

\[ \frac{32}{3} = \frac{1}{3} \cdot 8\sqrt{3} \cdot d(D', (MNP)) \] \[ 32 = 8\sqrt{3} \cdot d(D', (MNP)) \implies d(D', (MNP)) = \frac{32}{8\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \]

\[ d(D', (MNP)) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ cm} \quad \checkmark \]