Problema 2 — Geometrie în Spațiu

💡 Indicații

a) Observă că \(M\) este mijlocul ambelor diagonale \(AD\) și \(BP\) ale patrulaterului \(ABDP\), deci \(ABDP\) este paralelogram. Deduce că \(DP \parallel AB\) și \(DP = AB = 6\) cm. Demonstrează că \(AB \perp CD\) (folosind mijlocul \(I\) al lui \(AB\) și medianeele egale cu înălțimile din \(\triangle ABC\) și \(\triangle ABD\) echilaterale). Aplică Teorema lui Pitagora în \(\triangle CDP\).

b) Din \(DP \parallel AB\), unghiul dreptelor \(DP\) și \(CM\) este egal cu \(\angle CMQ\), unde \(Q\) este mijlocul muchiei \(BD\). Calculează laturile \(\triangle CMQ\): \(CM = CQ = 3\sqrt{3}\) cm, \(MQ = 3\) cm. Deoarece \(\triangle CMQ\) este isoscel cu \(CM = CQ\), determină aria prin înălțimea pe baza \(MQ\), apoi exprimă aceeași arie în forma \(\frac{1}{2} \cdot CM \cdot MQ \cdot \sin(\angle CMQ)\).

✏️ Rezolvare

a) Demonstrăm că \(CP = 6\sqrt{2}\) cm

▶ Click pe fiecare pas pentru a-l deschide

▶ Pas 1 — \(ABDP\) este paralelogram

Din ipoteză, \(M\) este mijlocul lui \(AD\). Deoarece \(P\) este simetricul lui \(B\) față de \(M\), rezultă că \(M\) este și mijlocul segmentului \(BP\).

În patrulaterul \(ABDP\), diagonalele \(AD\) și \(BP\) se bisectează în \(M\).

Orice patrulater ale cărui diagonale se bisectează este paralelogram, deci \(ABDP\) este paralelogram.

▶ Pas 2 — \(AB \perp CD\), deci \(DP \perp CD\)

Din proprietățile paralelogramului \(ABDP\):

\[ DP \parallel AB \quad \text{și} \quad DP = AB = 6 \text{ cm} \]

Demonstrăm că \(AB \perp CD\):

Fie \(I\) mijlocul muchiei \(AB\).

În triunghiul echilateral \(ABC\): \(CI\) este mediană din \(C\) spre \(AB\). Deoarece triunghiul este echilateral, mediana coincide cu înălțimea, deci \(CI \perp AB\).

În triunghiul echilateral \(ABD\): \(DI\) este mediană din \(D\) spre \(AB\), deci \(DI \perp AB\).

Avem \(CI \perp AB\) și \(DI \perp AB\), cu \(CI\) și \(DI\) necoplanare cu \(AB\), deci \(AB \perp\) planul \((CID)\). Deoarece \(CD \subset\) planul \((CID)\), rezultă:

\[ AB \perp CD \]

Punctul I mijlocul AB — CI perpendicular AB și DI perpendicular AB

Din \(DP \parallel AB\) și \(AB \perp CD\) rezultă:

\[ DP \perp CD \]

\(\triangle CDP\) este dreptunghic în \(D\), cu \(CD = DP = 6\) cm.

▶ Pas 3 — Aplicăm Teorema lui Pitagora în \(\triangle CDP\)

Triunghiul dreptunghic CDP cu CD=DP=6 cm

\[ CP^2 = CD^2 + DP^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \]

\[ CP = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ cm} \quad \checkmark \]

b) Sinusul unghiului dreptelor \(DP\) și \(CM\) este \(\dfrac{\sqrt{33}}{6}\)

▶ Click pe fiecare pas pentru a-l deschide

▶ Pas 1 — Reducem la unghiul \(\angle CMQ\)

Deoarece \(DP \parallel AB\), unghiul dintre dreptele \(DP\) și \(CM\) este egal cu unghiul dintre dreptele \(AB\) și \(CM\).

Fie \(Q\) mijlocul muchiei \(BD\). În \(\triangle ABD\), \(M\) și \(Q\) sunt mijloacele lui \(AD\) și \(BD\), deci \(MQ\) este linie mijlocie:

\[ MQ \parallel AB \quad \text{și} \quad MQ = \frac{AB}{2} = 3 \text{ cm} \]

Prin urmare, unghiul dintre \(AB\) și \(CM\) este egal cu \(\angle CMQ\).

▶ Pas 2 — Calculăm laturile \(\triangle CMQ\)

\(CM\) este înălțimea în triunghiul echilateral \(ACD\) cu latura \(6\) cm:

\[ CM = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ cm} \]

\(CQ\) este înălțimea în triunghiul echilateral \(BCD\) cu latura \(6\) cm:

\[ CQ = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ cm} \]

Deja am stabilit că \(MQ = 3\) cm.

\(\triangle CMQ\) are laturile: \(CM = CQ = 3\sqrt{3}\) cm și \(MQ = 3\) cm.

▶ Pas 3 — Aria \(\triangle CMQ\) — triunghi isoscel

\(\triangle CMQ\) este isoscel cu \(CM = CQ = 3\sqrt{3}\) cm și baza \(MQ = 3\) cm. Fie \(N\) mijlocul lui \(MQ\); înălțimea \(CN \perp MQ\) și \(MN = \dfrac{MQ}{2} = \dfrac{3}{2}\) cm.

\[ CN^2 = CM^2 - MN^2 = \left(3\sqrt{3}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 27 - \frac{9}{4} = \frac{99}{4} \] \[ CN = \frac{\sqrt{99}}{2} = \frac{3\sqrt{11}}{2} \text{ cm} \]

\[ \mathcal{A}_{CMQ} = \frac{1}{2} \cdot MQ \cdot CN = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{3\sqrt{11}}{2} = \frac{9\sqrt{11}}{4} \text{ cm}^2 \]

▶ Pas 4 — Aria în două moduri → \(\sin(\angle CMQ)\)

Exprimăm aria \(\triangle CMQ\) și cu formula \(\mathcal{A} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot MQ \cdot \sin(\angle CMQ)\):

\[ \frac{9\sqrt{11}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \sin(\angle CMQ) \] \[ \frac{9\sqrt{11}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(\angle CMQ) \] \[ \sin(\angle CMQ) = \frac{9\sqrt{11}}{4} \cdot \frac{2}{9\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3} \]

\[ \sin(\angle CMQ) = \frac{\sqrt{33}}{6} \quad \checkmark \]