Problema 1 — Subiectul III.3

📋 Enunț Model 2026

Se consideră funcția \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 2x + 4\).

a) Arată că \(f(2) + f(-2) = 8\).

b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Arată că unghiurile \(\angle BAM\) și \(\angle MBA\) sunt congruente, știind că \(M(3,\,0)\).

Figura 1.1

💡 Indicații

a) Înlocuiește \(x = 2\) și \(x = -2\) în expresia funcției și calculează suma.

b) Determină coordonatele punctelor \(A\) și \(B\) din condițiile de intersecție cu axele. Calculează \(AM\) și \(BM\) cu formula distanței dintre două puncte. Dacă \(AM = BM\), triunghiul \(ABM\) este isoscel și unghiurile de la bază sunt congruente.

✏️ Rezolvare

a) Calculul valorilor funcției

Calculăm valorile funcției pentru \(x = 2\) și \(x = -2\):

\[ f(2) = 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 = 8 \]

\[ f(-2) = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0 \]

Suma acestora este:

\[ f(2) + f(-2) = 8 + 0 = 8 \quad \checkmark \]

b) Demonstrarea congruenței unghiurilor

▶ Click pe fiecare pas pentru a-l deschide

▶ Pas 1 — Determinarea coordonatelor punctelor \(A\) și \(B\)

\[ A \in Ox \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow 2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow A(-2,\;0) \] \[ B \in Oy \Rightarrow x = 0 \Rightarrow f(0) = 2 \cdot 0 + 4 = 4 \Rightarrow B(0,\;4) \]

▶ Pas 2 — Calculul lungimilor \(AM\) și \(BM\)

\(M(3,\;0)\) — dat. Folosim formula distanței dintre două puncte.

📐 Noțiune teoretică — Formula distanței dintre două puncte

Dacă \(P_1(x_1, y_1)\) și \(P_2(x_2, y_2)\), atunci: \[ d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

\[ AM = |x_M - x_A| = |3 - (-2)| = 5 \] \[ BM = \sqrt{(x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2} = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

▶ Pas 3 — Concluzie: \(\triangle ABM\) isoscel

Deoarece \(AM = BM = 5\), triunghiul \(ABM\) este isoscel cu baza \(AB\). Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente, prin urmare: \[ \angle BAM \equiv \angle MBA \quad \checkmark \]