Problema 2 — Subiectul III.3

📋 Enunț Simulare 2026

În sistemul de axe ortogonale \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,\,0)\) și \(B(10,\,4)\).

a) Arată că \(AB = 4\sqrt{5}\).

b) Determină coordonatele punctului \(M\), situat pe axa \(Ox\), aflat la distanțe egale față de punctele \(A\) și \(B\).

💡 Indicații

a) Aplică formula distanței dintre două puncte pentru \(A(2,\,0)\) și \(B(10,\,4)\) și scoate factori de sub radical.

b) Scrie \(M(m,\,0)\) deoarece \(M \in Ox\). Impune condiția \(MA = MB\), ridică la pătrat și rezolvă ecuația în \(m\).

✏️ Rezolvare

a) Calculul lungimii \(AB\)

▶ Click pe fiecare pas pentru a-l deschide

▶ Pas 1 — Calculul lungimii \(AB\)

Folosim formula distanței dintre două puncte:

📐 Noțiune teoretică — Formula distanței dintre două puncte

Dacă \(P_1(x_1, y_1)\) și \(P_2(x_2, y_2)\), atunci: \[ d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(10-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} \] \[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \quad \checkmark \]

b) Determinarea coordonatelor punctului \(M\)

▶ Pas 1 — Scrierea coordonatelor lui \(M\)

\[ M \in Ox \Rightarrow M(m,\; 0), \quad m \in \mathbb{R} \]

▶ Pas 2 — Condiția \(MA = MB\)

\[ MA = |m - 2|, \qquad MB = \sqrt{(m-10)^2 + 16} \] \[ MA = MB \Leftrightarrow MA^2 = MB^2 \] \[ (m-2)^2 = (m-10)^2 + 16 \] \[ m^2 - 4m + 4 = m^2 - 20m + 100 + 16 \] \[ 16m = 112 \Rightarrow m = 7 \]

▶ Pas 3 — Concluzie

\[ M(7,\; 0) \] Verificare: \(MA = |7-2| = 5\), \quad \(MB = \sqrt{(7-10)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \quad \checkmark\)

Punctul M pe axa Ox, echidistant față de A și B