Problema 3 — Subiectul III.3

📋 Enunț Model 2025

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 2x - 6\).

a) Arată că \(f(3) \cdot f(2025) = 0\).

b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Determină aria triunghiului \(ABM\), unde punctul \(M\) este simetricul punctului \(A\) față de punctul \(O\).

💡 Indicații

a) Calculează \(f(3)\) și \(f(2025)\) separat și arată că unul dintre rezultate este \(0\).

b) Determină coordonatele punctelor \(A\) și \(B\) din condițiile de intersecție cu axele. Calculează coordonatele lui \(M\) folosind proprietatea de simetrie față de origine. Aplică formula ariei triunghiului cu baza pe \(Ox\).

✏️ Rezolvare

a) Demonstrarea egalității \(f(3) \cdot f(2025) = 0\)

▶ Click pe fiecare pas pentru a-l deschide

▶ Pas 1 — Calculul valorilor \(f(3)\) și \(f(2025)\)

\[ f(3) = 2 \cdot 3 - 6 = 6 - 6 = 0 \] \[ f(2025) = 2 \cdot 2025 - 6 = 4050 - 6 = 4044 \] \[ f(3) \cdot f(2025) = 0 \cdot 4044 = 0 \quad \checkmark \]

b) Aria triunghiului \(ABM\)

▶ Pas 1 — Determină coordonatele punctelor \(A\) și \(B\)

\[ A \in Ox \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow A(3,\;0) \] \[ B \in Oy \Rightarrow x = 0 \Rightarrow f(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6 \Rightarrow B(0,\;-6) \]

▶ Pas 2 — Coordonatele punctului \(M\)

\(M\) este simetricul lui \(A\) față de origine:

📐 Noțiune teoretică — Simetricul față de origine

Dacă \(P(a, b)\), atunci simetricul său față de \(O\) este \(P'(-a, -b)\). \[ O \text{ este mijlocul segmentului } PP' \]

\[ A(3,\;0) \xrightarrow{\text{simetrie față de } O} M(-3,\;0) \]

▶ Pas 3 — Calculul ariei triunghiului \(ABM\)

Punctele \(A(3,0)\) și \(M(-3,0)\) se află pe \(Ox\), deci \(AM\) este baza triunghiului:

\[ AM = |3 - (-3)| = 6 \]

Înălțimea corespunzătoare este distanța de la \(B(0,-6)\) la dreapta \(Ox\):

\[ h = |-6| = 6 \]

\[ \mathcal{A}_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \]