Problema 4 — Subiectul III.3

📋 Enunț Simulare 2025

În sistemul de axe ortogonale \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,\,0)\) și \(B(6,\,3)\).

a) Arată că \(AB = 5\).

b) Calculează distanța de la punctul \(M(5,\,0)\) la dreapta \(AB\).

💡 Indicații

a) Aplică formula distanței dintre două puncte pentru \(A(2,\,0)\) și \(B(6,\,3)\) și scoate factori de sub radical.

b) Calculează aria triunghiului \(ABM\) folosind baza \(AM\) pe \(Ox\) și înălțimea din \(B\). Scrie aceeași arie cu baza \(AB\) și deduci distanța de la \(M\) la dreapta \(AB\).

✏️ Rezolvare

a) Calculul lungimii \(AB\)

▶ Click pe fiecare pas pentru a-l deschide

▶ Pas 1 — Calculul lungimii \(AB\)

Folosim formula distanței dintre două puncte:

📐 Noțiune teoretică — Formula distanței dintre două puncte

Dacă \(P_1(x_1, y_1)\) și \(P_2(x_2, y_2)\), atunci: \[ d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

\[ AB = \sqrt{(6-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \quad \checkmark \]

b) Distanța de la \(M(5,\,0)\) la dreapta \(AB\)

▶ Pas 1 — Calculul ariei triunghiului \(ABM\)

Punctele \(A(2,0)\) și \(M(5,0)\) se află pe \(Ox\), deci \(AM\) este baza triunghiului:

\[ AM = |5 - 2| = 3 \]

Înălțimea din \(B\) pe dreapta \(Ox\):

\[ h = 3 \] \[ \mathcal{A}_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} \]

▶ Pas 2 — Deducerea distanței \(d(M, AB)\)

Aceeași arie se poate scrie și cu baza \(AB = 5\) și înălțimea \(d(M, AB)\):

\[ \mathcal{A}_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d(M,\,AB) \] \[ \frac{9}{2} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot d(M,\,AB) \] \[ d(M,\,AB) = \frac{9}{5} \]

\[ d(M,\, AB) = \frac{9}{5} \]