Problema 5 — Subiectul III.3

📋 Enunț Sesiunea Specială 2025

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = \dfrac{1}{2}x - 2\).

a) Arată că \(f(4) \cdot f(6) = 0\).

b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Calculează lungimea medianei din \(C\) a triunghiului \(ABC\), unde \(C(0,\,3)\).

💡 Indicații

a) Calculează \(f(4)\) și \(f(6)\) separat și arată că unul dintre rezultate este \(0\).

b) Determină coordonatele punctelor \(A\) și \(B\) din condițiile de intersecție cu axele. Determină coordonatele mijlocului \(M\) al segmentului \(AB\). Calculează lungimea medianei \(CM\).

✏️ Rezolvare

a) Demonstrarea egalității \(f(4) \cdot f(6) = 0\)

▶ Click pe fiecare pas pentru a-l deschide

▶ Pas 1 — Calculul valorilor \(f(4)\) și \(f(6)\)

\[ f(4) = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0 \] \[ f(6) = \frac{1}{2} \cdot 6 - 2 = 3 - 2 = 1 \] \[ f(4) \cdot f(6) = 0 \cdot 1 = 0 \quad \checkmark \]

b) Lungimea medianei din \(C\) a triunghiului \(ABC\)

▶ Pas 1 — Determină coordonatele punctelor \(A\) și \(B\)

\[ A \in Ox \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}x - 2 = 0 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow A(4,\;0) \] \[ B \in Oy \Rightarrow x = 0 \Rightarrow f(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 - 2 = -2 \Rightarrow B(0,\;-2) \]

▶ Pas 2 — Mijlocul \(M\) al segmentului \(AB\)

Folosim formula coordonatelor mijlocului unui segment:

📐 Noțiune teoretică — Coordonatele mijlocului unui segment

Dacă \(P_1(x_1, y_1)\) și \(P_2(x_2, y_2)\), atunci mijlocul \(M\) al segmentului \(P_1P_2\) are coordonatele: \[ M\!\left(\frac{x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2}\right) \]

\[ M = \left(\frac{4+0}{2},\;\frac{0+(-2)}{2}\right) = (2,\;-1) \]

▶ Pas 3 — Lungimea medianei \(CM\)

Folosim formula distanței dintre două puncte pentru \(C(0,3)\) și \(M(2,-1)\):

📐 Noțiune teoretică — Formula distanței dintre două puncte

\[ d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

\[ CM = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \]

\[ CM = 2\sqrt{5} \]