Matematică cu Mathilda — Fișă de vacanță 3

Exercițiul 11

Calculați expresia:

\[\displaystyle O = \frac{2\tfrac{3}{10}-1\tfrac{1}{5}}{1\tfrac{1}{2}-3\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{7}+\tfrac{3}{4}}+\frac{1}{2\tfrac{3}{4}+\tfrac{3}{8}}+\frac{1\tfrac{2}{3}\cdot 2\tfrac{2}{5}}{3\tfrac{4}{5}+2\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{5}}-2\]

Indicații — verifică fiecare pas:

Pasul 1. Calculează numărătorul primei fracții: \(2\tfrac{3}{10}-1\tfrac{1}{5}\). \(\tfrac{11}{10}\)

Pasul 2. Calculează produsul \(3\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{7}\) din numitorul primei fracții. \(1\)

Pasul 3. Calculează numitorul primei fracții: \(1\tfrac{1}{2}-1+\tfrac{3}{4}\). \(\tfrac{5}{4}\)

Pasul 4. Calculează prima fracție: \(\tfrac{11}{10}:\tfrac{5}{4}\). \(\tfrac{22}{25}\)

Pasul 5. Calculează a doua fracție \(\left(\tfrac{1}{2\tfrac{3}{4}+\tfrac{3}{8}}\right)\). \(\tfrac{8}{25}\)

Pasul 6. Calculează numărătorul fracției a treia: \(1\tfrac{2}{3}\cdot 2\tfrac{2}{5}\). \(4\)

Pasul 7. Calculează produsul \(2\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}\) din numitorul fracției a treia. \(1\)

Pasul 8. Calculează numitorul fracției a treia: \(3\tfrac{4}{5}+1+\tfrac{1}{5}\). \(5\)

Pasul 9. Calculează \(O\): adună cele trei fracții, scade \(2\). \(\tfrac{22}{25}+\tfrac{8}{25}+\tfrac{20}{25}-2\)

Răspuns final: \(O = 0\)

Exercițiul 12

Calculați expresia:

\[\displaystyle P = \frac{9}{10}+\left[\left(4\tfrac{2}{3}-\frac{14-\tfrac{1}{3}}{3}\right)\cdot 4\tfrac{1}{2}-\frac{1\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{3}}{8\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}}\right]\cdot 1\tfrac{2}{3}:5\]

Indicații — verifică fiecare pas:

Pasul 1. Calculează fracția din paranteza rotundă \(\left(\phantom{x}\right)\): \(\dfrac{14-\tfrac{1}{3}}{3}\). \(\tfrac{41}{9}\)

Pasul 2. Calculează paranteza rotundă \(\left(\phantom{x}\right)\): \(4\tfrac{2}{3}-\tfrac{41}{9}\). \(\tfrac{1}{9}\)

Pasul 3. Înmulțește cu \(4\tfrac{1}{2}\). \(\tfrac{1}{2}\)

Pasul 4. Calculează numărătorul fracției din paranteza pătrată: \(1\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{3}\). \(\tfrac{26}{15}\)

Pasul 5. Calculează numitorul fracției din paranteza pătrată: \(8\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}\). \(\tfrac{26}{3}\)

Pasul 6. Calculează fracția \(\dfrac{1\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{3}}{8\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}}\) (observă ce se simplifică!). \(\tfrac{1}{5}\)

Pasul 7. Calculează paranteza pătrată \(\left[\phantom{x}\right]\): \(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{5}\). \(\tfrac{3}{10}\)

Pasul 8. Calculează \(\tfrac{3}{10}\cdot 1\tfrac{2}{3}:5\). \(\tfrac{1}{10}\)

Pasul 9. Calculează \(P\). \(\tfrac{9}{10}+\tfrac{1}{10}\)

Răspuns final: \(P = 1\)

Exercițiul 13

Calculați expresia:

\[\displaystyle Q = \frac{\left(13\tfrac{3}{5}-6\tfrac{14}{15}\right)\cdot 4\tfrac{1}{2}}{6\tfrac{5}{9}-5\tfrac{1}{18}}-\frac{\left(1\tfrac{2}{5}-1\tfrac{1}{6}\right):\tfrac{7}{10}}{\left(1\tfrac{1}{3}-1\tfrac{1}{7}\right):\tfrac{2}{7}}:6\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2^4\cdot5^3\cdot10}{2^5\cdot5^5}\]

Indicații — verifică fiecare pas:

Pasul 1. Calculează \(13\tfrac{3}{5}-6\tfrac{14}{15}\) (numitor comun 15). \(\tfrac{20}{3}\)

Pasul 2. Înmulțește cu \(4\tfrac{1}{2}\). \(30\)

Pasul 3. Calculează \(6\tfrac{5}{9}-5\tfrac{1}{18}\) (numitor comun 18). \(\tfrac{3}{2}\)

Pasul 4. Calculează prima fracție mare: \(30:\tfrac{3}{2}\). \(20\)

Pasul 5. Calculează numărătorul fracției a doua: \(\left(1\tfrac{2}{5}-1\tfrac{1}{6}\right):\tfrac{7}{10}\) (observă ce se simplifică!). \(\tfrac{1}{3}\)

Pasul 6. Calculează numitorul fracției a doua: \(\left(1\tfrac{1}{3}-1\tfrac{1}{7}\right):\tfrac{2}{7}\). \(\tfrac{2}{3}\)

Pasul 7. Calculează fracția a doua. \(\tfrac{1}{2}\)

Pasul 8. Calculează \(\dfrac{2^4\cdot5^3\cdot10}{2^5\cdot5^5}\) (scrie \(10=2\cdot5\) și simplifică). \(\tfrac{1}{5}\)

Pasul 9. Calculează \(Q\): \(\left(20-\tfrac{1}{2}\right):6\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{5}\). \(\tfrac{39}{2}:\tfrac{13}{2}\cdot\tfrac{1}{5}=3\cdot\tfrac{1}{5}\)

Răspuns final: \(Q = \tfrac{3}{5}\)

Exercițiul 14

Calculați expresia:

\[\displaystyle R = \frac{1}{6}+\frac{\left(10-5\tfrac{3}{4}\right):2\tfrac{5}{6}+5\tfrac{1}{2}}{\left(2\tfrac{1}{3}+\tfrac{5}{12}+\tfrac{1}{2}\right)\cdot\tfrac{8}{13}}+\frac{\left(14-9\tfrac{5}{8}\cdot\tfrac{8}{11}\right):3\tfrac{1}{2}}{\left(7+1:\tfrac{7}{5}\right)\cdot\tfrac{7}{9}}\]

Indicații — verifică fiecare pas:

Pasul 1. Calculează \(\left(10-5\tfrac{3}{4}\right):2\tfrac{5}{6}\) (observă ce număr apare la ambele!). \(\tfrac{3}{2}\)

Pasul 2. Calculează numărătorul primei fracții mari: \(\tfrac{3}{2}+5\tfrac{1}{2}\). \(7\)

Pasul 3. Calculează suma \(2\tfrac{1}{3}+\tfrac{5}{12}+\tfrac{1}{2}\) (numitor comun 12). \(\tfrac{13}{4}\)

Pasul 4. Calculează numitorul primei fracții mari: \(\tfrac{13}{4}\cdot\tfrac{8}{13}\) (ce se simplifică?). \(2\)

Pasul 5. Calculează prima fracție mare. \(\tfrac{7}{2}\)

Pasul 6. Calculează \(9\tfrac{5}{8}\cdot\tfrac{8}{11}\) (observă ce se simplifică!). \(7\)

Pasul 7. Calculează numărătorul fracției a doua mari: \(\left(14-7\right):3\tfrac{1}{2}\) (ce se simplifică?). \(2\)

Pasul 8. Calculează numitorul fracției a doua mari: \(\left(7+1:\tfrac{7}{5}\right)\cdot\tfrac{7}{9}\) (ce se simplifică?). \(6\)

Pasul 9. Calculează \(R = \tfrac{1}{6}+\tfrac{7}{2}+\tfrac{2}{6}\) (aduce la numitor comun 6). \(\tfrac{1+21+2}{6}\)

Răspuns final: \(R = 4\)

Exercițiul 15

Calculați expresia:

\[\displaystyle S = \frac{2}{3}+\dfrac{\dfrac{12\cdot1\tfrac{1}{12}-9:6}{12:8+2\tfrac{2}{9}\cdot4\tfrac{1}{2}}}{\dfrac{1:4+5:3}{1\tfrac{7}{9}\cdot\tfrac{9}{8}-1\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{7}{9}}}\]

Indicații — verifică fiecare pas:

Pasul 1. Calculează numărătorul fracției de sus: \(12\cdot1\tfrac{1}{12}-9:6\) (observă ce se simplifică la produs!). \(\tfrac{23}{2}\)

Pasul 2. Calculează \(2\tfrac{2}{9}\cdot4\tfrac{1}{2}\) din numitorul fracției de sus (observă ce se simplifică!). \(10\)

Pasul 3. Calculează numitorul fracției de sus: \(12:8+10\) (compară cu Pasul 1 — fracția de sus = ?). \(\tfrac{23}{2}\) → fracția de sus \(=1\)

Pasul 4. Calculează numărătorul fracției de jos: \(1:4+5:3\). \(\tfrac{23}{12}\)

Pasul 5. Calculează \(1\tfrac{7}{9}\cdot\tfrac{9}{8}\) din numitorul fracției de jos (observă ce se simplifică!). \(2\)

Pasul 6. Calculează numitorul fracției de jos: \(2-1\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{7}{9}\). \(\tfrac{23}{36}\)

Pasul 7. Calculează fracția de jos: \(\tfrac{23}{12}:\tfrac{23}{36}\) (ce număr se simplifică?). \(3\)

Pasul 8. Calculează \(S = \tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}\). \(\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}\)

Răspuns final: \(S = 1\)