Lecția 4: Ne jucăm și învățăm! — Regula sumei
În lecția anterioară am văzut că, atunci când realizăm o alegere în mai multe etape succesive, numărul total de variante se obține prin înmulțire (regula produsului). Există însă o categorie diferită de probleme: acelea în care avem de ales una sau alta dintre mai multe variante posibile, fiecare variantă excluzând-o pe cealaltă. În aceste situații folosim regula sumei.
Exemplu introductiv
Un elev dorește să meargă de la casa lui până la școală. El poate alege fie unul dintre cele $3$ autobuze care trec prin cartierul său, fie unul dintre cele $4$ tramvaie disponibile. Câte variante de transport are elevul?
Deoarece elevul va folosi un singur mijloc de transport (autobuzul și tramvaiul nu se pot alege în același timp), variantele nu se înmulțesc, ci se adună: $3 + 4 = 7$ variante.
REGULA SUMEI
Regula sumei
Dacă un obiect $A$ se poate alege în $m$ moduri și un obiect $B$ se poate alege în $n$ moduri, iar cele două alegeri sunt incompatibile — adică niciun mod de alegere al lui $A$ nu coincide cu vreun mod de alegere al lui $B$ — atunci alegerea „lui $A$ sau a lui $B$" se poate realiza în $m + n$ moduri.
Observație (generalizare). Dacă avem $k$ categorii de alegeri, două câte două incompatibile, cu $n_1, n_2, \ldots, n_k$ variante în fiecare categorie, atunci numărul total de variante este $n_1 + n_2 + \cdots + n_k$.
Diferența esențială față de regula produsului
Regula produsului se aplică când alegerea se face în etape succesive (alegem $A$ și $B$). Regula sumei se aplică când alegerea este alternativă (alegem $A$ sau $B$, dar nu ambele). Cuvintele cheie sunt: și → produs; sau (exclusiv) → sumă.
Exemple rezolvate
E1) Numere de o cifră sau de două cifre
Câte numere naturale nenule au cel mult două cifre?
Un număr natural nenul cu cel mult două cifre este fie de o cifră, fie de două cifre — cele două categorii sunt incompatibile (un număr nu poate fi simultan de o cifră și de două cifre).
Numere de o cifră: $1, 2, 3, \ldots, 9$ → $9$ numere.
Numere de două cifre: $10, 11, 12, \ldots, 99$ → $90$ numere.
Prin regula sumei:
E2) Alegere dintr-o colecție de cărți
La o bibliotecă, un elev dorește să împrumute o carte de aventuri sau o carte de știință sau o carte de matematică. Pe raft sunt $6$ cărți de aventuri, $4$ cărți de știință și $5$ cărți de matematică. În câte moduri poate face alegerea?
Elevul alege o singură carte dintr-una dintre cele trei categorii — alegerile sunt incompatibile.
E3) Numere cu cifra zecilor în afara unui interval
Câte numere naturale de două cifre au cifra zecilor mai mică decât $3$ sau mai mare decât $7$?
Cele două condiții sunt incompatibile (o cifră nu poate fi, în același timp, mai mică decât $3$ și mai mare decât $7$).
Cifra zecilor mai mică decât $3$: $\in \{1, 2\}$ → $2$ alegeri pentru zeci; $10$ alegeri pentru unități → $2 \times 10 = 20$ numere.
Cifra zecilor mai mare decât $7$: $\in \{8, 9\}$ → $2$ alegeri pentru zeci; $10$ alegeri pentru unități → $2 \times 10 = 20$ numere.
Prin regula sumei:
Observăm că, în cadrul fiecărei categorii, am folosit regula produsului. Este firesc ca cele două reguli să apară împreună în aceeași problemă.
E4) Numere cu prima cifră fixată sau dintr-o mulțime
Câte numere naturale de trei cifre au cifra sutelor egală cu $2$ sau cifra sutelor egală cu $5$?
Cifra sutelor $= 2$: $1$ alegere pentru sute; $10$ alegeri pentru zeci; $10$ alegeri pentru unități → $1 \times 10 \times 10 = 100$ numere.
Cifra sutelor $= 5$: analog → $100$ numere.
Prin regula sumei:
Temă (de realizat pe caietul de clasă)
Vă rog să scrieți și enunțul problemelor propuse spre rezolvare!
1. Câte numere naturale nenule au cel mult trei cifre?
2. Câte numere naturale de două cifre au cifra unităților egală cu $3$ sau cifra unităților egală cu $7$?
3. La un concurs de matematică se acordă $3$ premii I, $4$ premii II și $5$ premii III. Câți elevi pot fi premiați?
4. Câte numere naturale de trei cifre au cifra sutelor mai mică decât $4$ și cifra unităților egală cu $0$ sau cu $5$?
Indiciu: combină regula produsului cu regula sumei.
Indicații
Notă: Întrebați-vă mereu cum ați gândit și cum justificați raționamentul avut.