Lecția 4 – Relația de ordine pe mulțimea numerelor naturale
Clasa a V-a
Fie $a, b \in \mathbb{N}$. Spunem că numărul $a$ este mai mic decât numărul $b$, și notăm $a < b$, dacă există un număr natural nenul $c \in \mathbb{N}^* = \mathbb{N} \setminus \{0\}$ astfel încât:
$$a + c = b.$$
Putem afirma că $3 < 7$ deoarece există numărul natural nenul $4$ care adunat cu $3$ ne dă $7$. Scriem și $7 > 3$ și citim „7 este mai mare decât 3": în general, $a > b$ înseamnă $b < a$.
Fie $a, b \in \mathbb{N}$. Spunem că $a$ este mai mic sau egal cu $b$, și notăm $a \leq b$, dacă $a < b$ sau $a = b$.
Conform definiției anterioare, putem spune că $a \leq b$, dacă există un număr natural $c \in \mathbb{N}$ astfel încât:
$$a + c = b.$$
(acum este inclus și cazul $c = 0$).
1) Proprietatea de reflexivitate: Orice număr natural este mai mic sau egal decât el însuși, adică:
$$a \leq a, \quad (\forall)\, a \in \mathbb{N}.$$
2) Proprietatea de antisimetrie: dacă $a \leq b$ și $b \leq a$ ($a$, $b$ numere naturale), atunci $a = b$.
3) Proprietatea de tranzitivitate: dacă $a \leq b$ și $b \leq c$ (unde $a, b, c \in \mathbb{N}$), atunci $a \leq c$.
4) Ordinea totală/Trihotomia: oricum am alege două numere naturale $a, b \in \mathbb{N}$ are loc una și numai una din relațiile:
$$a < b \quad \text{sau} \quad a = b \quad \text{sau} \quad a > b \qquad (a \leq b \ \text{ sau } \ b \leq a).$$
1) $a \leq b \iff a \pm c \leq b \pm c$, pentru oricare $c \in \mathbb{N}$, cât timp operațiile au sens.
2) Dacă $a \leq b$ și $c \leq d$, atunci $a + c \leq b + d$.
1) Dacă $a \leq b$, atunci $a \cdot c \leq b \cdot c$, oricare ar fi $c \in \mathbb{N}$.
2) $a \leq b \iff a \cdot c \leq b \cdot c$, oricare ar fi $c \in \mathbb{N}^*$.
3) Dacă $a \leq b$ și $c \leq d$, atunci $a \cdot c \leq b \cdot d$.
1. Într-o inegalitate putem aduna același număr natural în ambii membri sau îi putem înmulți pe amândoi cu același număr: inegalitatea se păstrează. Putem și scădea, cât timp scăderea se poate face în $\mathbb{N}$.
2. Două inegalități de același sens se pot aduna și se pot înmulți membru cu membru; se obține tot o inegalitate de același sens.
3. Echivalența de la înmulțire cere $c \neq 0$: numai atunci putem simplifica, adică din $a \cdot c \leq b \cdot c$ să deducem $a \leq b$. Pentru $c = 0$ avem $a \cdot 0 = b \cdot 0$: o inegalitate strictă devine egalitate (din $3 < 7$ nu obținem $3 \cdot 0 < 7 \cdot 0$).
Compatibilitatea dintre ordine și operații este esențială în practica matematică deoarece:
- Permite izolarea variabilelor: Putem adăuga, scădea sau înmulți aceiași termeni în ambele părți ale unei inecuații fără a-i schimba sensul.
- Facilitează tehnicile de încadrare: Permite evaluarea expresiilor complexe prin simplificări succesive.
În practică, compararea a două numere naturale $a, b \in \mathbb{N}$ se realizează prin două metode fundamentale:
- Metoda algebrică (diferența): Se caută un număr $c \in \mathbb{N}$ astfel încât $a + c = b$. Dacă un astfel de $c$ există, atunci $a \leq b$. În caz contrar, $b < a$.
- Metoda pozițională (reprezentarea în baza 10):
- Dacă numărul $a$ are mai puține cifre decât $b$, atunci $a < b$ (de exemplu, $999 < 1000$).
- Dacă $a$ și $b$ au același număr de cifre, le comparăm cifrele de la stânga la dreapta: la prima pereche de cifre diferite, mai mic este numărul cu cifra mai mică (de exemplu, $3456 < 3465$).
Fie $a, b \in \mathbb{N}$. Spunem că $a < b$ dacă și numai dacă punctul $A(a)$ se află la stânga punctului $B(b)$ pe axa numerelor naturale.