Sistemul de numerație pe care îl folosim în matematică este un sistem zecimal (baza 10) și pozițional.

• Zecimal: deoarece 10 unități de un anumit ordin formează o singură unitate de ordinul imediat superior (10 unități = o zece, 10 zeci = o sută, 10 sute = o mie etc.).
• Pozițional: deoarece valoarea fiecărei cifre depinde de poziția (locul) pe care o ocupă în scrierea numărului.

Una dintre cele mai frecvente confuzii la clasa a V-a apare între cifra zecilor și numărul de zeci.

Pentru a înțelege imediat diferența, considerăm numărul $N = 3742$.

În loc să folosim noțiuni matematice abstracte, folosim trei metode intuitive, accesibile elevilor de clasa a V-a.

1. Metoda banilor (a pachetelor de 10). Dacă avem 3742 de lei în monede de 1 leu și vrem să-i schimbăm în bancnote de 10 lei:

$3742 = 374 \times 10 + 2$

Putem primi 374 de bancnote de 10 lei, iar 2 lei rămân rest (monede). Prin urmare, numărul total de zeci este 374.

2. Metoda împărțirii cu rest la 10. Efectuăm împărțirea cu rest a numărului la 10:

$3742 : 10 = 374$ rest $2$

Câtul împărțirii (374) reprezintă numărul de zeci complete cuprinse în numărul dat.

3. Metoda vizuală („regula degetului" / acoperirea cifrei unităților). Pentru a afla numărul de zeci, acoperim cu degetul cifra unităților (ultima cifră din dreapta). Numărul rămas neacoperit în față este numărul de zeci:

$374\,[\text{acoperim } 2] \implies \mathbf{374}$ zeci

Tabelul 1. Comparație între cifra ordinului și numărul total de unități de acel ordin, pentru $N = 58\,369$

Ordinul de mărime	Cifra ordinului	Număr total de unități de acel ordin	Explicație (împărțire cu rest)
Zeci (10)	6	5836 zeci	$58\,369 = 5836 \times 10 + 9$
Sute (100)	3	583 sute	$58\,369 = 583 \times 100 + 69$
Mii (1000)	8	58 mii	$58\,369 = 58 \times 1000 + 369$
Zeci de mii (10 000)	5	5 zeci de mii	$58\,369 = 5 \times 10\,000 + 8369$

În viața de zi cu zi nu avem întotdeauna nevoie de valoarea exactă a unui număr, ci de o valoare apropiată și ușor de calculat (un „număr rotund", adică unul care se termină cu un anumit număr de zerouri). Această operație se numește aproximare.

Aproximarea unui număr natural la un anumit ordin (zeci, sute, mii etc.) înseamnă înlocuirea lui cu cel mai apropiat număr rotund. Există două tipuri principale de aproximări: prin lipsă și prin adaos.

Cum se obține practic? Se păstrează cifra ordinului la care se face aproximarea, iar toate cifrele aflate la dreapta ei se înlocuiesc cu zero.

• Aproximarea prin lipsă la zeci a lui 483: păstrăm zecile (48) și punem 0 la unități $\implies$ 480.
• Aproximarea prin lipsă la sute a lui 2749: păstrăm sutele (27) și punem 00 la zeci și unități $\implies$ 2700.

Cum se obține practic? Se mărește cu o unitate cifra ordinului la care se face aproximarea, iar toate cifrele din dreapta ei se înlocuiesc cu zero.

• Aproximarea prin adaos la zeci a lui 483: adăugăm o zece la 48 zeci $\implies$ 490.
• Aproximarea prin adaos la sute a lui 2749: adăugăm o sută la 27 sute $\implies$ 2800.

Orice număr natural care nu este rotund se află cuprins strict între aproximarea sa prin lipsă și aproximarea sa prin adaos de același ordin:

$$A_{\text{lipsă}} < N < A_{\text{adaos}}$$

Pentru a stabili rapid dacă rotunjirea se face prin lipsă sau prin adaos, privim cifra din dreapta ordinului la care facem rotunjirea (cifra imediat inferioară).

Considerăm numărul $N = 53\,764$. Să efectuăm rotunjirea la diferite ordine.

1. Rotunjire la zeci. Cifra zecilor este 6. Cifra din dreapta ei (unitățile) este 4. Deoarece $4 < 5$, rotunjim prin lipsă $\implies$ 53 760.

2. Rotunjire la sute. Cifra sutelor este 7. Cifra din dreapta ei (zecile) este 6. Deoarece $6 \geq 5$, rotunjim prin adaos ($7 + 1 = 8$) $\implies$ 53 800.

3. Rotunjire la mii. Cifra miilor este 3. Cifra din dreapta ei (sutele) este 7. Deoarece $7 \geq 5$, rotunjim prin adaos ($3 + 1 = 4$) $\implies$ 54 000.

În aplicațiile practice (cum ar fi la cumpărături sau la calcularea unui buget), estimarea ne ajută să găsim rapid o valoare aproximativă a unei sume, diferențe sau produs, fără a efectua calculul exact.

Exemplu practic. Un elev cumpără un ghiozdan de 187 lei, un penar de 42 lei și un set de carioci de 29 lei. Să estimăm suma totală prin rotunjire la zeci:

• 187 lei $\to$ rotunjit la zeci = 190 lei
• 42 lei $\to$ rotunjit la zeci = 40 lei
• 29 lei $\to$ rotunjit la zeci = 30 lei

Suma estimată $= 190 + 40 + 30 = \mathbf{260}$ lei

Calculul exact ar fi fost $187 + 42 + 29 = 258$ lei, deci estimarea de 260 lei este foarte bună.

Problema 1 (distincția cifră față de număr de unități)

Se consideră numărul $N = 84\,529$. Specificați:

1. Cifra zecilor și cifra sutelor.
2. Numărul total de zeci și numărul total de sute.
3. Câte bancnote de 100 de lei putem obține la schimb din această sumă?

Rezolvare pas cu pas:

a) Cifra zecilor este a doua cifră de la dreapta: 2. Cifra sutelor este a treia cifră de la dreapta: 5.

b) Pentru numărul total de zeci, efectuăm împărțirea la 10:

$84\,529 = 8452 \times 10 + 9 \implies \mathbf{8452}$ zeci

(sau acoperim cifra unităților, 9, și rămâne 8452).

Pentru numărul total de sute, efectuăm împărțirea la 100:

$84\,529 = 845 \times 100 + 29 \implies \mathbf{845}$ sute

(sau acoperim ultimele două cifre, 29, și rămâne 845).

c) Deoarece avem 845 de sute complete, putem obține maximum 845 de bancnote de 100 de lei (iar 29 de lei rămân rest).

Problema 2 (aproximări și încadrări)

Se dă numărul $A = 6384$. Completați tabelul de mai jos cu aproximările și rotunjirile corespunzătoare.

Rezolvare pas cu pas:

• La zeci (6384): aproximarea prin lipsă este 6380, iar cea prin adaos este 6390. Cifra unităților este $4 < 5 \implies$ rotunjirea la zeci este 6380.
• La sute (6384): aproximarea prin lipsă este 6300, iar cea prin adaos este 6400. Cifra zecilor este $8 \geq 5 \implies$ rotunjirea la sute este 6400.
• La mii (6384): aproximarea prin lipsă este 6000, iar cea prin adaos este 7000. Cifra sutelor este $3 < 5 \implies$ rotunjirea la mii este 6000.

Ordinul	Aproximare prin lipsă	Aproximare prin adaos	Rotunjire
Zeci	6380	6390	6380
Sute	6300	6400	6400
Mii	6000	7000	6000

Problema 3 (aflarea numerelor necunoscute din condiții de rotunjire)

Aflați toate numerele naturale de forma $\overline{3x7}$ care, rotunjite la sute, devin egale cu 400.

Rezolvare pas cu pas:

1. Scriem forma numărului: $\overline{3x7} = 300 + 10 \cdot x + 7$, unde $x$ este cifra zecilor, $x \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$.
2. Numărul se află între sutele 300 și 400.
3. Pentru ca rotunjirea la sute să fie prin adaos (adică să devină 400), cifra din dreapta sutelor — care este cifra zecilor, $x$ — trebuie să fie mai mare sau egală cu 5:

   $x \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$

4. Concluzie: numerele căutate sunt 357, 367, 377, 387, 397.

E1. Pentru numărul 27 418, specificați:

1. Cifra zecilor și cifra miilor.
2. Numărul total de zeci și numărul total de sute.

E2. Determinați aproximările prin lipsă și prin adaos la zeci, sute și mii pentru numărul 8536.

E3. Completați spațiile libere astfel încât afirmațiile să fie adevărate:

1. Rotunjirea numărului 429 la zeci este ……
2. Rotunjirea numărului 1750 la sute este ……
3. Numărul de zeci complete din 5083 este ……

E4. Aflați cel mai mic și cel mai mare număr natural de trei cifre care, rotunjite la sute, devin 600.

E5. Problematizare: Un comerciant are 1478 de caiete și dorește să le împacheteze în pachete de câte 10 caiete.

1. Câte pachete complete de 10 caiete va obține?
2. Câte caiete îi mai rămân neîmpachetate?