Profesor de Matematică - Elena Micu
O mulțime reprezintă o colecție bine determinată de obiecte distincte, numite elementele mulțimii.
Convenții de notație:
Fie $A$ o mulțime și $x$ un obiect matematic.
Există trei modalități fundamentale de reprezentare a unei mulțimi:
Se citește: mulțimea acelor $x$ din $U$ pentru care propoziția $P(x)$ este adevărată.
Considerăm următoarele mulțimi:
a) $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x = 3^k - 1,\ k \in \{1, 2, 3, 4\}\}$;
b) $B = \{c \mid c$ este o literă din alfabetul român prezentă în cuvântul „criptografie”$\}$.
Mulțimea $A$ se mai poate scrie și sub forma $A = \{3^k - 1 \mid k \in \{1, 2, 3, 4\}\}$, care se citește: mulțimea numerelor de forma $3^k - 1$, cu proprietatea că $k$ se află în mulțimea $\{1, 2, 3, 4\}$.
Cerință: scrieți mulțimea $A$ prin enumerare, precizați dacă $26 \in A$ și stabiliți dacă $B$ este numerică sau nenumerică.
a) Calculăm valorile pentru $k \in \{1, 2, 3, 4\}$:
Așadar, $A = \{2, 8, 26, 80\}$. Observăm că $26 \in A$, deoarece corespunde valorii $k = 3$.
b) Eliminând duplicatele din cuvântul „criptografie”, mulțimea literelor este: $$B = \{\text{c}, \text{r}, \text{i}, \text{p}, \text{t}, \text{o}, \text{g}, \text{a}, \text{f}, \text{e}\}.$$ Deoarece elementele sale sunt litere, $B$ este o mulțime nenumerică.
Două mulțimi $A$ și $B$ sunt egale, și scriem $A = B$, dacă conțin exact aceleași elemente: $$A = B \iff \big((\forall)\, x \in A \Longrightarrow x \in B \ \text{ și } \ (\forall)\, x \in B \Longrightarrow x \in A\big).$$
Dacă există cel puțin un element care aparține uneia dintre mulțimi și nu aparține celeilalte, scriem $A \neq B$.
Egalitatea mulțimilor este o relație de echivalență:
O mulțime $A$ este inclusă în mulțimea $B$, și scriem $A \subset B$, dacă orice element al lui $A$ este și element al lui $B$: $$A \subset B \iff \big((\forall)\, x \in A \Longrightarrow x \in B\big).$$
În acest caz, $A$ se numește submulțime (sau parte) a lui $B$, iar $B$ include pe $A$, ceea ce se notează $B \supset A$. Dacă $A$ nu este inclusă în $B$, scriem $A \not\subset B$.
Dacă există măcar un element al lui $A$ care nu aparține lui $B$, atunci $A$ nu este inclusă în $B$ și scriem $A \not\subset B$. În desenul de mai jos, elementul $u$ aparține lui $A$, dar nu aparține lui $B$, deci $A \not\subset B$.
Pentru orice mulțimi $A$, $B$, $C$:
O mulțime este finită dacă numărul elementelor sale este un număr natural bine determinat.
Numărul elementelor distincte ale unei mulțimi finite $A$ se numește cardinalul mulțimii $A$ și se notează $\operatorname{card}(A)$ sau $|A|$.
De exemplu, pentru $A = \{2, 5, 9, 14\}$ avem $\operatorname{card}(A) = 4$, iar $\operatorname{card}(\varnothing) = 0$.
Mulțimea tuturor submulțimilor unei mulțimi $M$ se numește mulțimea părților lui $M$ și se notează $\mathcal{P}(M)$: $$\mathcal{P}(M) = \{X \mid X \subset M\}.$$
Fie mulțimea $M = \{5, 8, 12\}$.
a) Determinați explicit toate elementele mulțimii părților $\mathcal{P}(M)$.
b) Aflați numărul de elemente al mulțimii $\mathcal{P}(M)$.
a) Submulțimile lui $M$ se clasifică după numărul de elemente:
Așadar, $\mathcal{P}(M) = \{\varnothing, \{5\}, \{8\}, \{12\}, \{5, 8\}, \{5, 12\}, \{8, 12\}, \{5, 8, 12\}\}$.
b) Cardinalul mulțimii părților este $\operatorname{card}(\mathcal{P}(M)) = 8 = 2^3$.
Dacă $M$ este o mulțime finită cu $\operatorname{card}(M) = n$, atunci mulțimea părților ei are $$\operatorname{card}(\mathcal{P}(M)) = 2^n$$ elemente, adică $M$ are exact $2^n$ submulțimi.
Justificare: pentru fiecare dintre cele $n$ elemente avem două posibilități, fie îl punem în submulțime, fie nu îl punem. Alegerile fiind independente, numărul total de submulțimi este $$\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{n \text{ factori}} = 2^n.$$
Printre acestea se află întotdeauna mulțimea vidă și mulțimea $M$ însăși. Numărul submulțimilor proprii, adică diferite de $\varnothing$ și de $M$, este $2^n - 2$.
Determinați cardinalul mulțimii $S = \{x \in \mathbb{N} \mid 14 \leq 3x + 2 < 50,\ x$ este număr impar$\}$.
Rezolvăm dubla inegalitate în mulțimea numerelor naturale: $$14 \leq 3x + 2 < 50 \Longrightarrow 14 - 2 \leq 3x < 50 - 2 \Longrightarrow 12 \leq 3x < 48.$$
Împărțim prin 3 și obținem $4 \leq x < 16$.
Mulțimea numerelor naturale din acest interval este $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$. Selectăm doar numerele impare: $$S = \{5, 7, 9, 11, 13, 15\}.$$
Prin urmare, cardinalul mulțimii este $\operatorname{card}(S) = 6$.
Fie $A$ și $B$ două mulțimi.
Lucrăm cu mulțimile $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ și $B = \{3, 6, 9, 12\}$.
Reuniunea $A \cup B$: scriem toate elementele lui $A$, apoi adăugăm, din $B$, numai elementele care nu au fost deja scrise. Niciun element nu se repetă.
$A \cup B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{3, 6, 9, 12\} = \{1, 3, 5, 6, 7, 9, 12\}$.
Intersecția $A \cap B$: luăm pe rând fiecare element al lui $A$ și verificăm dacă se află și în $B$. Păstrăm doar elementele comune.
$3 \in A$ și $3 \in B$; $9 \in A$ și $9 \in B$; celelalte nu sunt comune, deci $A \cap B = \{3, 9\}$.
Diferența $A \setminus B$: pornim de la elementele lui $A$ și le ștergem pe cele care apar și în $B$. Rămân elementele care sunt numai în $A$.
$A \setminus B = \{1, 5, 7\}$, iar $B \setminus A = \{6, 12\}$. Se vede că $A \setminus B \neq B \setminus A$: la diferență, ordinea mulțimilor contează.
Verificare: $\operatorname{card}(A \cup B) = 7$, iar $\operatorname{card}(A \setminus B) + \operatorname{card}(A \cap B) + \operatorname{card}(B \setminus A) = 3 + 2 + 2 = 7$.
Pentru orice două mulțimi finite $A$ și $B$, cardinalul reuniunii este dat de relația: $$\operatorname{card}(A \cup B) = \operatorname{card}(A) + \operatorname{card}(B) - \operatorname{card}(A \cap B).$$
Formulă echivalentă, prin diferențe disjuncte: $$\operatorname{card}(A \cup B) = \operatorname{card}(A \setminus B) + \operatorname{card}(B \setminus A) + \operatorname{card}(A \cap B).$$
La o școală gimnazială, dintr-un grup de 45 de elevi de clasa a VI-a:
Cerințe:
a) Determinați câți elevi participă la ambele cluburi.
b) Câți elevi participă exclusiv la Clubul de Robotică?
c) Reprezentați situația printr-o diagramă Venn-Euler cu datele numerice reale.
a) Notăm cu $U$ mulțimea totală de elevi, deci $\operatorname{card}(U) = 45$. Numărul elevilor care participă la cel puțin un club este cardinalul reuniunii: $$\operatorname{card}(R \cup S) = 45 - 6 = 39.$$
Aplicăm principiul includerii și excluderii: $$39 = 28 + 21 - \operatorname{card}(R \cap S) \Longrightarrow 39 = 49 - \operatorname{card}(R \cap S) \Longrightarrow \operatorname{card}(R \cap S) = 10.$$ Deci 10 elevi participă la ambele cluburi.
b) Elevii care participă exclusiv la robotică sunt reprezentați de diferența $R \setminus S$: $$\operatorname{card}(R \setminus S) = \operatorname{card}(R) - \operatorname{card}(R \cap S) = 28 - 10 = 18.$$
c) Analog, elevii care participă exclusiv la șah sunt $\operatorname{card}(S \setminus R) = 21 - 10 = 11$.
Fie $A$ și $B$ două mulțimi. Produsul cartezian al mulțimilor $A$ și $B$, notat $A \times B$ și citit „$A$ ori $B$”, este mulțimea tuturor perechilor ordonate $(a, b)$, în care primul element este luat din $A$, iar al doilea din $B$: $$A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \ \text{ și } \ b \in B\}.$$
Perechile sunt ordonate: $(a, b) = (c, d)$ numai dacă $a = c$ și $b = d$. De aceea, în general, $A \times B \neq B \times A$.
Dacă $A$ și $B$ sunt mulțimi finite, atunci $$\operatorname{card}(A \times B) = \operatorname{card}(A) \cdot \operatorname{card}(B).$$
Justificare: primul element al perechii se poate alege în $\operatorname{card}(A)$ moduri, iar al doilea, pentru fiecare alegere, în $\operatorname{card}(B)$ moduri.
Fie $A = \{1, 2\}$ și $B = \{a, b, c\}$. Scrieți mulțimile $A \times B$ și $B \times A$ și aflați cardinalele lor.
Așezăm perechile într-un tabel, cu elementele lui $A$ pe linii și cele ale lui $B$ pe coloane:
Așadar, $A \times B = \{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\}$, cu $\operatorname{card}(A \times B) = 2 \cdot 3 = 6$.
Schimbând ordinea, $B \times A = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$, tot cu 6 elemente, dar perechile sunt diferite, deci $A \times B \neq B \times A$.
Pentru orice mulțimi finite $A$, $B$, $C$: $$\operatorname{card}(A \cup B \cup C) = \operatorname{card}(A) + \operatorname{card}(B) + \operatorname{card}(C) - \operatorname{card}(A \cap B) - \operatorname{card}(A \cap C) - \operatorname{card}(B \cap C) + \operatorname{card}(A \cap B \cap C).$$
Se adună întâi cele trei mulțimi, se scad intersecțiile luate două câte două, pentru că elementele lor au fost numărate de două ori, apoi se adaugă la loc intersecția tuturor celor trei, pentru că elementele ei au fost întâi numărate de trei ori și apoi scăzute tot de trei ori.
Dintr-un grup de 100 de elevi, 52 studiază engleza $(E)$, 45 studiază franceza $(F)$, 38 studiază germana $(G)$; 20 studiază engleza și franceza, 15 studiază engleza și germana, 12 studiază franceza și germana, iar 5 studiază toate trei limbile. Câți elevi studiază cel puțin o limbă străină și câți nu studiază niciuna?
Aplicăm principiul includerii și excluderii pentru trei mulțimi: $$\operatorname{card}(E \cup F \cup G) = 52 + 45 + 38 - 20 - 15 - 12 + 5 = 93.$$
Deci 93 de elevi studiază cel puțin o limbă străină, iar $100 - 93 = 7$ elevi nu studiază niciuna.
Problema 1.
Fie mulțimile $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x^2 \leq 36\}$ și $B = \{x \in \mathbb{N}^* \mid x$ este divizor al lui $24\}$.
a) Scrieți mulțimile $A$ și $B$ prin enumerare.
b) Determinați mulțimile $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$ și $B \setminus A$.
c) Determinați cardinalul mulțimii $\mathcal{P}(A \cap B)$.
Problema 2.
Determinați numerele naturale $a$ și $b$ pentru care mulțimile $M = \{2a + 1, 9, 16\}$ și $N = \{b^2, 7, 16\}$ sunt egale.
Problema 3.
Într-un grup de 60 de pasionați de informatică, 38 programează în Python, 29 programează în C++, iar 5 nu cunosc niciunul dintre aceste limbaje. Câți pasionați programează în ambele limbaje?
a) Pentru mulțimea $A$: $x \in \mathbb{N}$ cu $x^2 \leq 36 \Longrightarrow x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Pentru mulțimea $B$: divizorii naturali nenuli ai lui 24 sunt $D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$.
b) Calculăm operațiile cu mulțimi:
c) Cardinalul intersecției este $\operatorname{card}(A \cap B) = 5$. Prin urmare, cardinalul mulțimii părților este $$\operatorname{card}(\mathcal{P}(A \cap B)) = 2^5 = 32.$$
Deoarece $M = N$, mulțimile trebuie să conțină aceleași elemente. Observăm că $16 \in M$ și $16 \in N$, deci mulțimile rămase $\{2a + 1, 9\}$ și $\{b^2, 7\}$ trebuie să aibă aceleași elemente. Avem două posibilități de potrivire:
Prin urmare, soluția unică este $a = 3$ și $b = 3$.
Fie $P$ mulțimea celor care programează în Python și $C$ mulțimea celor care programează în C++. Grupul are 60 de persoane, deci numărul total de elemente este 60. Numărul celor care cunosc cel puțin un limbaj este: $$\operatorname{card}(P \cup C) = 60 - 5 = 55.$$
Conform principiului includerii și excluderii: $$55 = 38 + 29 - \operatorname{card}(P \cap C) \Longrightarrow 55 = 67 - \operatorname{card}(P \cap C) \Longrightarrow \operatorname{card}(P \cap C) = 12.$$
Răspuns: 12 pasionați programează în ambele limbaje.