Lecția 1, 1.1 Notație: $\sqrt[n]{a}$.   $\sqrt[n]{a} > 0$   și   $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a \quad (a > 0)$. Numărul natural $n$ se numește ordinul (sau indicele) radicalului.

Lecția 1, observații $\sqrt{x^2} = |x|, \quad (\forall)x \in \mathbb{R}$.   Mai general, dacă $x \in \mathbb{R}$ și $k \in \mathbb{N}^*$:   $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$.

Lecția 1, 1.2 $\sqrt[n]{a} < 0, \quad \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a \quad$ și $\quad \sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{-a} \quad (a < 0)$.

Lecția 1, REȚINEM! Radicalul de ordin par $\left(\sqrt[2k]{a}\right)$: este definit numai pentru numere pozitive sau zero $(a \geq 0)$, iar rezultatul său este întotdeauna un număr pozitiv sau nul $\left(\sqrt[2k]{a} \geq 0\right)$.
Radicalul de ordin impar $\left(\sqrt[2k+1]{a}\right)$: este definit pentru orice număr real $(a \in \mathbb{R})$, iar rezultatul are același semn ca numărul $a$.

Lecția 2, P1 $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \quad (\forall)a, b \in [0, +\infty)$. Dacă indicele $n$ este impar proprietatea este adevărată pentru orice numere reale.

Lecția 2, P2 $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \quad (\forall)a \in [0, +\infty),\ b \in (0, +\infty)$. Condițiile $a \geq 0$, $b > 0$ sunt esențiale când $n$ este un număr par. Dacă $n$ este număr impar, proprietatea are loc pentru oricare numere $a \in \mathbb{R}$ și $b \in \mathbb{R}^*$.

Lecția 2, P3 $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}, \quad (\forall)a \in [0, +\infty),\ m \in \mathbb{N}^*$. Rămâne adevărată pentru $a < 0$ dacă $n$ este număr impar.

Lecția 2, P4 $\sqrt[n]{a^{mn} \cdot b} = a^m \cdot \sqrt[n]{b}, \quad (\forall)a \in [0, +\infty)$.

Lecția 2, P5 $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}}, \quad (\forall)a \in [0, +\infty),\ k \in \mathbb{N}^*$  (amplificarea)
$\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}, \quad (\forall)a \in [0, +\infty),\ k \in \mathbb{N}^*$  (simplificarea)

Lecția 2, P6 și P7 $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}, \quad (\forall)a \in [0, +\infty)$.
Dacă $a, b \in [0, +\infty)$ atunci $\sqrt[n]{a} \leq \sqrt[n]{b} \Leftrightarrow a \leq b$.

Lecția 2, Operații cu radicali, 5 și 7 $a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}$  (introducerea factorilor sub radical)
$\sqrt[m]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[mn]{a^n b^m}$.

Lecția 2, observații $\sqrt[n]{a^n b} = \begin{cases} a\sqrt[n]{b}, & n \text{ impar} \\ |a|\sqrt[n]{b}, & n = \text{ par},\ b \geq 0 \end{cases}$
Dacă $a < 0$, $b \geq 0$, atunci $a\sqrt[2n]{b} = -\sqrt[2n]{a^{2n}b}$.

Lecția 2, observații În ceea ce privește adunarea radicalilor nu există proprietăți speciale ale acesteia. Trebuie remarcat ca $\sqrt[n]{a + b} \neq \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$.
Media geometrică a $n$ numere pozitive: $m_g = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n}$.

Lecția 4, definiție (1) Fie $a \geq 0$ și $r \in \mathbb{Q}_+$. Dacă $r = \dfrac{m}{n}$, unde $m, n \in \mathbb{N}^*$, atunci $a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Lecția 4, definiție (6) Fie $a > 0$ un număr real strict pozitiv și $r \in \mathbb{Q}_-$. Atunci $a^r = \dfrac{1}{a^{-r}}$.

Lecția 4, teoremă Fie $a, b \in \mathbb{R}$, $a > 0$, $b > 0$ și $r, s \in \mathbb{Q}$.
a) $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$    b) $\dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$    c) $\left(a^r\right)^s = a^{r \cdot s}$
d) $(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$    e) $\left(\dfrac{a}{b}\right)^r = \dfrac{a^r}{b^r}$

Lecția 4, teoremă f) și g) f) Dacă $a > 1$, atunci $a^r < a^s \Longleftrightarrow r < s$. Dacă $0 < a < 1$, atunci $a^r < a^s \Longleftrightarrow r > s$.
g) Dacă $a > 1$: $a^r > 1$ pentru $r > 0$, respectiv $0 < a^r < 1$ pentru $r < 0$. Dacă $0 < a < 1$: $0 < a^r < 1$ pentru $r > 0$, respectiv $a^r > 1$ pentru $r < 0$.
În cuvinte: dintre două puteri cu aceeași bază supraunitară este mai mare puterea cu exponentul mai mare; dintre două puteri cu aceeași bază pozitivă subunitară este mai mare puterea cu exponentul mai mic.

Lecția 5, 1.1 Aproximarea prin lipsă $x_n'$ este trunchierea lui $x$ la primele $n$ zecimale: $x_n' = a_0, a_1 a_2 \ldots a_n$. Aproximarea prin adaos: $x_n'' = x_n' + \dfrac{1}{10^n} = a_0, a_1 a_2 \ldots (a_n + 1)$.
Încadrarea strictă: $x_n' \leq x < x_n''$, iar $x_n'' - x_n' = 10^{-n}$.

Lecția 5, 1.2 Dacă $a = -x = |x| > 0$ și $a_n' \leq a < a_n''$, atunci $-a_n'' < x \leq -a_n'$. Prin urmare: aproximarea prin lipsă a lui $x$ este opusa aproximării prin adaos a lui $a$, adică $x_n' = -a_n''$; aproximarea prin adaos a lui $x$ este opusa aproximării prin lipsă a lui $a$, adică $x_n'' = -a_n'$.

Lecția 5, 2.1 Pentru $a > 1$: există un unic număr real $y > 0$, notat $a^x$, astfel încât $a^{x_n'} \leq a^x < a^{x_n''},\ (\forall)\, n \in \mathbb{N}$.
Pentru $0 < a < 1$: $a^x$ este unicul număr real $y > 0$ care satisface $a^{x_n''} < a^x \leq a^{x_n'},\ (\forall)\, n \in \mathbb{N}$.
Cazurile particulare: $1^x = 1$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$, iar $a^0 = 1$.

Lecția 5, 3.1 Pentru $a > 1$ funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$: $(\forall)\, x_1, x_2 \in \mathbb{R},\ x_1 < x_2 \iff a^{x_1} < a^{x_2}$; la trecerea de la puteri la exponenți, sau invers, sensul inegalității se păstrează.
Pentru $0 < a < 1$ funcția este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$: $(\forall)\, x_1, x_2 \in \mathbb{R},\ x_1 < x_2 \iff a^{x_1} > a^{x_2}$; sensul inegalității se inversează.

Lecția 4, Exercițiul 1 $-0,4 = -\dfrac{4}{10} = -\dfrac{2}{5}$ și $25 = 5^2$, deci $25^{-0,4} = 5^{-\frac{4}{5}}$. Atunci $E = 5^{\frac{4}{5} - \frac{4}{5} + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$.

Lecția 4, Exercițiul 2 $\left(2^9\right)^{\frac{1}{18}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$,   $\left(6^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{8}{3}} = 6^2 = 36$, deci $F = 36\sqrt{2}$.

Lecția 4, Exercițiul 3 $E(x, y) = x^{-\frac{29}{48}} \cdot y^{-\frac{1}{6}} = \dfrac{1}{\sqrt[48]{x^{29}} \cdot \sqrt[6]{y}}$.

Lecția 4, Exercițiul 4 $B = 3^{\frac{1}{2}}$; cum $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} > \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ și baza $3 > 1$, rezultă $A > B$.

Lecția 5, Problema 1 a) $n = 0$: $x_0' = 2$, $x_0'' = 3$; $n = 1$: $x_1' = 2,2$, $x_1'' = 2,3$; $n = 2$: $x_2' = 2,23$, $x_2'' = 2,24$; $n = 3$: $x_3' = 2,236$, $x_3'' = 2,237$.
b) $n = 0$: $x_0' = -2$, $x_0'' = -1$; $n = 1$: $x_1' = -1,5$, $x_1'' = -1,4$; $n = 2$: $x_2' = -1,42$, $x_2'' = -1,41$; $n = 3$: $x_3' = -1,415$, $x_3'' = -1,414$.

Lecția 5, Problema 2 a) Baza $2 > 1$, funcția este crescătoare; din $\sqrt3 < \sqrt5$ rezultă $2^{\sqrt3} < 2^{\sqrt5}$.
b) Baza $\dfrac12 < 1$, funcția este descrescătoare; din $\sqrt2 \approx 1,4142 > 1,41$ rezultă $\left(\dfrac12\right)^{\sqrt2} < \left(\dfrac12\right)^{1,41}$.
c) Baza $\sqrt2 - 1 \approx 0,414 < 1$, funcția este descrescătoare; din $3 < \pi$ rezultă $\left(\sqrt2 - 1\right)^3 > \left(\sqrt2 - 1\right)^{\pi}$.

Lecția 5, Problema 3 a) $E_1 = \dfrac{3^{2\sqrt3} \cdot 3^{2 - 2\sqrt3}}{3^{-\sqrt3}} = 3^{2 + \sqrt3}$.   b) $E_2 = 5^{(\sqrt2 - 1)(\sqrt2 + 1)} \cdot 5^{-1} = 5^0 = 1$.

Lecția 5, Problema 4 a) $2x - 1 \geq 3 \Longrightarrow S = [2, +\infty)$.   b) baza subunitară: $3x + 1 > 2x - 4 \Longrightarrow S = (-5, +\infty)$.   c) $x^2 - 5x + 6 \leq 0 \Longrightarrow S = [2, 3]$.

Lecția 5, Problema 5 Din $-2 \leq x^2 - 2x - 1 \leq 3$: prima inecuație dă $(x-1)^2 \geq 0$, adevărată pentru orice $x$; a doua dă $x^2 - 2x - 4 \leq 0$. Deci $S = \left[1 - \sqrt5,\ 1 + \sqrt5\right]$.

Lecția 5, Problema 6 Cu substituția $t = 2^x > 0$: $t^2 - 6t + 8 > 0$, deci $t \in (0, 2) \cup (4, +\infty)$. Revenind, $S = (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$.

Lecția 5, Problema 7 Baza fiind subunitară, $\dfrac{x+1}{x-1} \leq -2 \iff \dfrac{3x - 1}{x - 1} \leq 0$. Din tabelul de semn, $S = \left[\dfrac13,\ 1\right)$.