MateExamene

1. Cuvânt înainte și obiective didactice

Acest ghid este structurat pentru a sprijini elevii în înțelegerea și stăpânirea rezolvării inecuațiilor de gradul I.

Structura conținutului:

• La nivel de clasa a VIII-a: Inecuații de gradul I cu o necunoscută, transformări echivalente, reprezentare pe axă și soluții în $\mathbb{R}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{N}$.
• La nivel de clasa a IX-a: Funcția de gradul I, algoritmul de determinare a semnului, tabelul de semn, inecuații cu produs și cât.
• Temă: Un set complet de 10 inecuații reprezentative, ordonate crescător ca dificultate, însoțite de răspunsuri pentru autoevaluare.

2. Nivel clasa a VIII-a: Inecuații de gradul I cu o necunoscută

Noțiuni teoretice și proprietăți

O inecuație de gradul I cu o necunoscută este o inegalitate de forma:

$ax + b \leq 0, \quad ax + b < 0, \quad ax + b \geq 0 \quad$ sau $\quad ax + b > 0$

unde $a, b \in \mathbb{R}$, cu $a \neq 0$, iar $x$ este necunoscuta.

Exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a VIII-a)

Exercițiul 1.

Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația: $5 - 3x \geq 14$.

Rezolvare pas cu pas

1. Scădem 5 din ambii membri: $-3x \geq 14 - 5 \Longleftrightarrow -3x \geq 9$.
2. Împărțim prin $-3$ (număr negativ, deci schimbăm sensul inegalității): $x \leq \dfrac{9}{-3} \Longleftrightarrow x \leq -3$.
3. Mulțimea soluțiilor reale este $S = (-\infty, -3]$.

Exercițiul 2.

Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația cu fracții: $\dfrac{2x-1}{3} - \dfrac{x+2}{4} > \dfrac{x-3}{6}$.

Rezolvare pas cu pas

1. Aducem la numitor comun (numitorul comun este 12):

   $\dfrac{4(2x-1)}{12} - \dfrac{3(x+2)}{12} > \dfrac{2(x-3)}{12}$

2. Înmulțim totul cu 12: $4(2x - 1) - 3(x + 2) > 2(x - 3)$.
3. Desfacem parantezele: $8x - 4 - 3x - 6 > 2x - 6 \Longleftrightarrow 5x - 10 > 2x - 6$.
4. Trecem termenii cu $x$ în stânga și termenii liberi în dreapta:

   $5x - 2x > -6 + 10 \Longleftrightarrow 3x > 4 \Longleftrightarrow x > \dfrac{4}{3}$

5. Soluția este $S = \left(\dfrac{4}{3}, +\infty\right)$.

Exercițiul 3.

Găsiți soluțiile întregi ale inecuației duble: $-7 \leq 2x - 1 < 5$, $x \in \mathbb{Z}$.

Rezolvare pas cu pas

1. Adăugăm 1 în toți cei trei membri: $-7 + 1 \leq 2x < 5 + 1 \Longleftrightarrow -6 \leq 2x < 6$.
2. Împărțim prin 2: $-3 \leq x < 3 \Longleftrightarrow x \in [-3, 3)$.
3. Deoarece se cer soluțiile în $\mathbb{Z}$, selectăm numerele întregi din interval: $S = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}$.

3. Nivel clasa a IX-a: Semnul funcției de gradul I

Teoremă și tabelul de semn

Fie funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = ax + b$, cu $a, b \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$. Rădăcina ecuației $f(x) = 0$ este $x_0 = -\dfrac{b}{a}$.

Tabelul general de semn

Exerciții rezolvate cu semnul funcției

Exercițiul 4.

Studiați semnul funcției $f(x) = -2x + 6$ și rezolvați inecuația $f(x) \geq 0$.

Rezolvare pas cu pas

1. Egalăm funcția cu 0: $-2x + 6 = 0 \Longleftrightarrow -2x = -6 \Longleftrightarrow x = 3$.
2. Identificăm coeficientul lui $x$: $a = -2 < 0$.
3. Construim tabelul de semn:

   $x$	$-\infty$	$3$	$+\infty$
   $-2x + 6$	+++++++	$0$	−−−−−−−

Pentru $f(x) \geq 0$, privim unde avem semnul $+$ sau 0: $x \in (-\infty, 3]$. Soluția este $S = (-\infty, 3]$.

Exercițiul 5 (inecuație cu produs).

Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația: $(x - 2)(3 - x) \leq 0$.

Rezolvare pas cu pas

1. Aflăm rădăcinile fiecărui factor:

   $x - 2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \quad (a_1 = 1 > 0)$

   $3 - x = 0 \Longrightarrow x = 3 \quad (a_2 = -1 < 0)$

2. Alcătuim tabelul de semn reunit:

   $x$	$-\infty$	$2$		$3$	$+\infty$
   $x - 2$	−−−−−−−	$0$	++++++++++++++++
   $3 - x$	++++++++++++++++			$0$	−−−−−−−
   $P(x)$	−−−−−−−	$0$	+++++++	$0$	−−−−−−−

Se cere $P(x) \leq 0$ (unde produsul este negativ sau zero): $S = (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$.

Inecuația 6.

Rezolvați în $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ inecuația rațională (cât):

$\dfrac{3x + 9}{2 - x} \leq 0$

Rezolvare pas cu pas

1. Aflăm rădăcinile numărătorului cât și numitorului:

   Numărătorul $3x + 9 = 0 \Longrightarrow x = -3 \quad (a_1 = 3 > 0)$

   Numitorul $2 - x = 0 \Longrightarrow x = 2$ (punct de nedefinire) $\quad (a_2 = -1 < 0)$

2. Alcătuim tabelul de semn reunit:

   $x$	$-\infty$	$-3$		$2$	$+\infty$
   $3x + 9$	−−−−−−−	$0$	++++++++++++++++
   $2 - x$	++++++++++++++++			$0$	−−−−−−−
   $Q(x)$	−−−−−−−	$0$	+++++++	$|$	−−−−−−−

   Bara verticală marchează valoarea pentru care câtul nu este definit.

Câtul este negativ sau zero pe $(-\infty, -3] \cup (2, +\infty)$.

Răspuns: $S = (-\infty, -3] \cup (2, +\infty)$.

4. Temă

Instrucțiuni pentru elevi

Rezolvați următoarele 10 exerciții în caiete. Primele 5 exerciții sunt concepute pentru consolidarea noțiunilor de clasa a VIII-a, iar exercițiile 6–10 aplică tabelul de semn și proprietățile funcției de gradul I (clasa a IX-a). Verificați rezultatele la finalul materialului!

5. Răspunsuri la temă

1. $S = (-\infty, -3]$
2. $S = (-9, +\infty)$
3. $S = \left[\dfrac{5}{4}, +\infty\right)$
4. $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
5. Proprietatea modulului: $|E| \leq a \Longleftrightarrow -a \leq E \leq a$, unde $a$ număr real pozitiv. $S = [-2, 5]$.
6. $x \in (-\infty, 4)$
7. $S = (3, 5)$
8. $S = (-\infty, -2] \cup (3, +\infty)$
9. Inecuația 1 $\Longrightarrow S_1 = [2, +\infty)$, inecuația 2 $\Longrightarrow S_2 = (-\infty, 5)$.

   Intersecția soluțiilor: $S = S_1 \cap S_2 = [2, +\infty) \cap (-\infty, 5) = [2, 5)$

   Răspuns: $S = [2, 5)$.

10. Calculăm numărătorul: $(x + 1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1$.

    Inecuația devine: $\dfrac{2x + 1}{4 - 2x} \geq 0$. Din tabelul de semn, fracția este pozitivă sau zero între $-\dfrac{1}{2}$ și 2 (cu $x \neq 2$).

    Răspuns: $S = \left[-\dfrac{1}{2}, 2\right)$.