Lecția 2. Probleme rezolvate și explicate pas cu pas

📄 Versiune PDF

Fișă de Aplicații Practice

Exerciții Model Rezolvate și Explicate Pas cu Pas

Sursă didactică: Conf. univ. dr. Adrian Netedu, Noțiuni de bază în statistica socială (Cap. II)

1. Aplicația 1: Analiza metodologică a unei cercetări statistice

Enunțul problemei:

În cadrul unui studiu privind evaluarea competențelor lingvistice, un eșantion de 250 de elevi de la liceele din municipiul Iași au fost testați la limba engleză. Rezultatele obținute de aceștia au fost consemnate ca valori întregi pe o scală de la 0 la 100 de puncte. Se cere identificarea riguroasă a elementelor metodologice ale acestei cercetări statistice.

Ghid de rezolvare pas cu pas

Populația (colectivitatea) statistică: Reprezintă întreaga mulțime de elemente de aceeași natură care formează obiectul investigației empirice. → Răspuns: Toți elevii din liceele din municipiul Iași.
Unitatea statistică: Elementul constitutiv individual din cadrul colectivității supuse observării. → Răspuns: Un elev (unitate statistică simplă).
Eșantionul cercetării: Submulțimea reprezentativă extrasă din populația totală pentru colectarea datelor. → Răspuns: Grupul celor 250 de elevi testați efectiv.
Variabila (caracteristica) statistică: Însușirea sau proprietatea urmărită în cadrul cercetării, care variază de la o unitate la alta. → Răspuns: Nota / punctajul obținut la testul de limba engleză.
Valorile posibile ale variabilei: Mulțimea stărilor sau numerelor pe care le poate înregistra caracteristica. → Răspuns: Numerele întregi din mulțimea $\{0, 1, 2, \ldots, 100\}$.
Tipul variabilei și scala de măsurare: → Tipul variabilei: Variabilă cantitativă discretă (provenită dintr-o măsurare/evaluare exprimată prin numere întregi). → Scala de măsurare: Scală de raporturi (sau de intervale), întrucât valoarea 0 reprezintă absența punctajului, iar diferențele între note au semnificație pur numerică.

2. Aplicația 2: Grupare pe intervale egale folosind Formula lui Sturges

Enunțul problemei:

Într-o secție de producție s-au înregistrat vârstele (exprimate în ani împliniți) pentru un efectiv de $n = 100$ de angajați, obținându-se următoarele date brute:

53	46	50	43	52	43	50	45	56	42
43	34	45	46	47	49	45	44	48	48
36	44	38	47	42	46	43	55	44	42
42	48	38	54	40	44	46	48	41	49
55	45	47	34	43	41	41	46	43	46
47	46	44	44	47	48	40	48	49	42
48	43	46	42	50	44	55	41	55	43
50	46	42	44	44	43	42	41	43	54
49	44	47	48	50	34	48	52	44	45
43	42	49	55	45	55	55	44	46	58

Se cere construirea seriei statistice pe intervale egale de variație prin aplicarea algoritmului Sturges.

Ghid de rezolvare pas cu pas

Pasul 1: Identificarea valorilor extreme și calculul amplitudinii variației $(A)$:

$X_{\min} = 34$ ani, $X_{\max} = 58$ ani

Amplitudinea totală a variației se determină prin diferența:

$A = X_{\max} - X_{\min} = 58 - 34 = 24$ ani

Pasul 2: Calculul mărimii intervalului de grupare $(i)$ prin formula lui Sturges: Formula generală este dată de relația:

$i = \dfrac{X_{\max} - X_{\min}}{1 + 3,322 \cdot \lg n}$

Deoarece efectivul total este $n = 100$, logaritmul zecimal este $\lg 100 = 2$. Substituind datele:

$i = \dfrac{24}{1 + 3,322 \cdot 2} = \dfrac{24}{1 + 6,644} = \dfrac{24}{7,644} \approx 3,14$ ani

Din considerente practice de delimitare a claselor de vârstă, se adoptă pasul întreg de $i = 4$ ani (sau $i = 3$ ani). Folosind pasul $i = 4$, intervalele se succed de la $X_{\min} = 34$.

Pasul 3: Construirea intervalelor și gruparea frecvențelor absolute $(f_i)$: Convenim ca intervalele să fie deschise la dreapta: $[x_{k-1}, x_k)$.

Intervalul $[34 - 38)$: cuprinde vârstele $34, 36 \rightarrow f_1 = 5$ angajați.
Intervalul $[38 - 42)$: cuprinde vârstele $38, 40, 41 \rightarrow f_2 = 11$ angajați.
Intervalul $[42 - 46)$: cuprinde vârstele $42, 43, 44, 45 \rightarrow f_3 = 38$ angajați.
Intervalul $[46 - 50)$: cuprinde vârstele $46, 47, 48, 49 \rightarrow f_4 = 30$ angajați.
Intervalul $[50 - 54)$: cuprinde vârstele $50, 52, 53 \rightarrow f_5 = 7$ angajați.
Intervalul $[54 - 58]$: cuprinde vârstele $54, 55, 56, 58 \rightarrow f_6 = 9$ angajați.

Pasul 4: Tabelul centralizator al seriei statistice $(n = 100)$:

Tabelul 1: Distribuția angajaților după grupa de vârstă (pas $i = 4$ ani)
Grupe de vârstă (ani)	Frecvențe absolute $(f_i)$	Frecvențe relative procentuale $(f_{r\%})$
$[34 - 38)$	5	5,0%
$[38 - 42)$	11	11,0%
$[42 - 46)$	38	38,0%
$[46 - 50)$	30	30,0%
$[50 - 54)$	7	7,0%
$[54 - 58]$	9	9,0%
Total	100	100,0%

3. Aplicația 3: Tabularea frecvențelor relative, cumulate și interpretarea lor

Enunțul problemei:

În cadrul unui sondaj universitar realizat pe un eșantion de $N = 200$ de studenți, s-a evaluat gradul de satisfacție față de programul de studiu urmat. S-au înregistrat următoarele frecvențe absolute:

Foarte mulțumiți: 87 studenți
Mulțumiți: 48 studenți
Nici mulțumiți / Nici nemulțumiți: 32 studenți
Puțin mulțumiți: 20 studenți
Nemulțumiți: 13 studenți

Se cere construirea tabelului statistic complet (frecvențe absolute, relative procentuale, cumulate descendente și ascendente) și interpretarea analitică a rezultatelor.

Ghid de rezolvare pas cu pas

Pasul 1: Calculul frecvențelor relative procentuale $(f_{r\%})$: Formula de calcul prin regula de trei simplă raportată la totalul $N = 200$ este:

$f_{r\%} = \dfrac{f_i \cdot 100}{N} = \dfrac{f_i \cdot 100}{200} = \dfrac{f_i}{2}$

Foarte mulțumiți: $87/2 = 43,5\%$
Mulțumiți: $48/2 = 24,0\%$
Nici/Nici: $32/2 = 16,0\%$
Puțin mulțumiți: $20/2 = 10,0\%$
Nemulțumiți: $13/2 = 6,5\%$

Pasul 2: Calculul frecvențelor cumulate descendente $(F \downarrow$ – „până la"$)$: Însumarea se realizează succesiv de sus în jos:

$F\!\downarrow_1 = 87, \quad F\!\downarrow_2 = 87 + 48 = 135, \quad F\!\downarrow_3 = 135 + 32 = 167, \ldots$

Pasul 3: Calculul frecvențelor cumulate ascendente $(F \uparrow$ – „peste"$)$: Însumarea se realizează succesiv de jos în sus, începând de la ultima categorie.

Tabelul 2: Tabelul centralizator al distribuției gradului de satisfacție $(N = 200)$
Categorii opinie	$f_i$	$f_{r\%}$	$F \downarrow$	$F \downarrow \%$	$F \uparrow$	$F \uparrow \%$
Foarte mulțumiți	87	43,5%	87	43,5%	200	100,0%
Mulțumiți	48	24,0%	135	67,5%	113	56,5%
Nici mulțumiți / Nici nem.	32	16,0%	167	83,5%	65	32,5%
Puțin mulțumiți	20	10,0%	187	93,5%	33	16,5%
Nemulțumiți	13	6,5%	200	100,0%	13	6,5%
Total	200	100,0%	–	–	–	–

Interpretări metodologice finale

Ponderea insatisfacției: Însumând categoriile „Puțin mulțumiți" $(10,0\%)$ și „Nemulțumiți" $(6,5\%)$, rezultă că un procent de $16,5\%$ din studenți (respectiv 33 de persoane) exprimă nemulțumire.
Ponderea satisfacției ridicate: Citind din coloana cumulat ascendentă $F \uparrow \%$, constatăm că $56,5\%$ dintre studenți (113 persoane) declară cel puțin nivelul „Mulțumiți".

53	46	50	43	52	43	50	45	56	42
43	34	45	46	47	49	45	44	48	48
36	44	38	47	42	46	43	55	44	42
42	48	38	54	40	44	46	48	41	49
55	45	47	34	43	41	41	46	43	46
47	46	44	44	47	48	40	48	49	42
48	43	46	42	50	44	55	41	55	43
50	46	42	44	44	43	42	41	43	54
49	44	47	48	50	34	48	52	44	45
43	42	49	55	45	55	55	44	46	58

53	46	50	43	52	43	50	45	56	42
43	34	45	46	47	49	45	44	48	48
36	44	38	47	42	46	43	55	44	42
42	48	38	54	40	44	46	48	41	49
55	45	47	34	43	41	41	46	43	46
47	46	44	44	47	48	40	48	49	42
48	43	46	42	50	44	55	41	55	43
50	46	42	44	44	43	42	41	43	54
49	44	47	48	50	34	48	52	44	45
43	42	49	55	45	55	55	44	46	58

53	46	50	43	52	43	50	45	56	42
43	34	45	46	47	49	45	44	48	48
36	44	38	47	42	46	43	55	44	42
42	48	38	54	40	44	46	48	41	49
55	45	47	34	43	41	41	46	43	46
47	46	44	44	47	48	40	48	49	42
48	43	46	42	50	44	55	41	55	43
50	46	42	44	44	43	42	41	43	54
49	44	47	48	50	34	48	52	44	45
43	42	49	55	45	55	55	44	46	58