PDF — Geometrie Plană Problema 1

MateExamene mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

Geometrie Plană — Problema 1

Model 2026 · Trapez inscris în cerc — bisectoare și arie · Nivel: Mediu

Enunț

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\). Punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) aparțin cercului, astfel încât \(AB\) este diametru. Dreptele \(CD\) și \(AB\) sunt paralele, semidreapta \(AC\) este bisectoarea unghiului \(BAD\) și \(CD = 16\) cm.

(2p) a) Arată că \(AD = 16\) cm.

(3p) b) Calculează aria patrulaterului \(ABCD\).

Indicații

a) Folosește proprietatea bisectoarei și paralelismul \(CD \parallel AB\) pentru a arăta că triunghiul \(DAC\) este isoscel cu \(DA = DC\).

b) Arată că triunghiul \(ACB\) este dreptunghic în \(C\) cu un unghi de \(30^\circ\). Construiește înălțimea trapezului și determin-o prin funcții trigonometrice.

Rezolvare

a) Demonstrarea egalității \(AD = 16\) cm

Pas 1 — \(AC\) bisectoarea unghiului \(BAD\):

\[ \widehat{BAC} \equiv \widehat{DAC} \tag{1} \]

Pas 2 — \(CD \parallel AB\), secanta \(AC\) \(\Rightarrow\) unghiuri alterne interne:

\[ \widehat{DCA} \equiv \widehat{CAB} \tag{2} \]

Pas 3 — Din \((1)\) și \((2)\): \(\widehat{DCA} \equiv \widehat{DAC}\), deci \(\triangle DAC\) isoscel cu baza \(AC\):

\[ DA = DC \tag{3} \]

Din \((3)\) și \(CD = 16\) cm \((4)\): \(\quad AD = 16 \text{ cm} \quad \checkmark\)

b) Calculul ariei patrulaterului \(ABCD\)

Pas 1 — \(AB \parallel CD\), \(ABCD\) inscris în cerc \(\Rightarrow AD = BC \Rightarrow\) \(ABCD\) trapez isoscel:

\[ AD = CD = BC \overset{(4)}{=} 16 \text{ cm} \]

Pas 2 — \([AB]\) diametru \(\Rightarrow m(\overset{\frown}{AB}) = 180^\circ\). Teorema unghiului înscris:

\[ m(\widehat{ACB}) = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \implies \triangle ACB \text{ dreptunghic în } C \]

Pas 3 — Notăm \(m(\widehat{CAB}) = x\). \(ABCD\) trapez isoscel \(\Rightarrow \widehat{DAB} \equiv \widehat{ABC} \;(5)\). Din a): \(m(\widehat{DAB}) = 2x\), deci \(m(\widehat{ABC}) = 2x\;(6)\).

\[ 90^\circ + x + 2x = 180^\circ \implies x = 30^\circ \]

Teorema 30°: \(CB = \dfrac{AB}{2}\)

\[ AB = 2 \cdot CB = 2 \cdot 16 = 32 \text{ cm} \]

Pas 4 — Construim \(CE \perp AB\), \(E \in AB\). În \(\triangle CEB\) dreptunghic în \(E\):

\[ \sin 60^\circ = \frac{CE}{CB} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{CE}{16} \implies CE = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ cm} \quad (7) \]

Pas 5 — Formula ariei trapezului:

\[ \mathcal{A}_{ABCD} = \frac{(AB + DC) \cdot CE}{2} = \frac{(32 + 16) \cdot 8\sqrt{3}}{2} = \frac{48 \cdot 8\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot 8\sqrt{3} \]

\[ \mathcal{A}_{ABCD} = 192\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]