PDF — Geometrie în Spațiu Problema 1

MateExamene mateexamene.ro — Profesor Elena Micu

Geometrie în Spațiu — Problema 1

Model 2026 · Cub — arie secțiune și distanță la plan · Nivel: Mediu

Enunț

În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\), cu \(AB = 8\) cm. Punctele \(M\), \(N\) și \(P\) sunt mijloacele muchiilor \(AD\), \(DC\), respectiv \(DD'\).

(2p) a) Arată că aria triunghiului \(MNP\) este egală cu \(8\sqrt{3}\) cm².

(3p) b) Arată că distanța de la punctul \(D'\) la planul \((MNP)\) este egală cu \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) cm.

Indicații

a) \(DM = DN = DP = 4\) cm. Aplică Pitagora în \(\triangle MDN\), \(\triangle NDP\), \(\triangle PDM\) (toate dreptunghice în \(D\)) pentru a obține \(MN = NP = MP = 4\sqrt{2}\) cm. Concluzionează că \(\triangle MNP\) este echilateral și calculează aria.

b) Calculează \(V_{D'MNP}\) considerând baza \(\triangle D'NP\) în fața \(DD'C'C\): \(\mathcal{A}(\triangle D'NP) = 8\) cm², înălțimea \(MD = 4\) cm, deci \(V = \frac{32}{3}\) cm³. Egalează cu \(\frac{1}{3} \cdot 8\sqrt{3} \cdot d\) pentru a determina \(d\).

Rezolvare

a) Aria triunghiului \(MNP\)

Pas 1 — \(M\), \(N\), \(P\) sunt mijloacele muchiilor \(AD\), \(DC\), \(DD'\):

\[ DM = \frac{AD}{2} = 4 \text{ cm}, \quad DN = \frac{DC}{2} = 4 \text{ cm}, \quad DP = \frac{DD'}{2} = 4 \text{ cm} \]

Pas 2 — Teorema lui Pitagora (muchiile cubului sunt perpendiculare două câte două):

\[ \triangle MDN \text{ dreptunghic în } D\!: \quad MN = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ cm} \]

\[ \triangle NDP \text{ dreptunghic în } D\!: \quad NP = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} \text{ cm} \]

\[ \triangle MDP \text{ dreptunghic în } D\!: \quad MP = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} \text{ cm} \]

Triunghiul echilateral MNP cu latura 4√2 cm

\(MN = NP = MP = 4\sqrt{2}\) cm \(\implies \triangle MNP\) echilateral cu latura \(l = 4\sqrt{2}\) cm.

Pas 3 — Aria triunghiului echilateral:

\[ \mathcal{A}_{\triangle MNP} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{32\sqrt{3}}{4} \]

\[ \mathcal{A}_{\triangle MNP} = 8\sqrt{3} \text{ cm}^2 \quad \checkmark \]

b) Distanța de la \(D'\) la planul \((MNP)\)

Pas 1 — Volumul piramidei \(D'MNP\) cu baza \(\triangle D'NP\). Baza \(\triangle D'NP\) se află în fața \(DD'C'C\); \(D'P = 4\) cm, \(DN = 4\) cm:

\[ \mathcal{A}(\triangle D'NP) = \frac{D'P \cdot DN}{2} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8 \text{ cm}^2 \]

Deoarece \(AD \perp (DD'C'C)\), înălțimea din \(M\) pe planul \((D'NP)\) este \(MD = 4\) cm:

\[ V_{D'MNP} = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 4 = \frac{32}{3} \text{ cm}^3 \]

Pas 2 — Distanța \(d(D', (MNP))\) din formula volumului cu baza \(\triangle MNP\):

\[ V_{D'MNP} = \frac{1}{3} \cdot \mathcal{A}(\triangle MNP) \cdot d(D', (MNP)) \]

\[ \frac{32}{3} = \frac{1}{3} \cdot 8\sqrt{3} \cdot d(D', (MNP)) \implies 32 = 8\sqrt{3} \cdot d(D', (MNP)) \]

\[ d(D', (MNP)) = \frac{32}{8\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \]

\[ d(D', (MNP)) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ cm} \quad \checkmark \]