Geometrie în Spațiu — Problema 2
Simulare 2026 · Tetraedru regulat — paralelogram și unghi între drepte · Nivel: Mediu
Enunț

În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat \(ABCD\), cu \(AB = 6\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul muchiei \(AD\) și punctul \(P\) este simetricul punctului \(B\) față de punctul \(M\).

(2p) a) Demonstrați că \(CP = 6\sqrt{2}\) cm.

(3p) b) Arată că sinusul unghiului dreptelor \(DP\) și \(CM\) este egal cu \(\dfrac{\sqrt{33}}{6}\).

Tetraedrul regulat ABCD cu M mijlocul AD și P simetricul lui B față de M
Indicații

a) \(M\) este mijlocul diagonalelor \(AD\) și \(BP\) din \(ABDP\), deci \(ABDP\) este paralelogram. Deducem \(DP \parallel AB\), \(DP = 6\) cm. Demonstrăm \(AB \perp CD\) (fie \(I\) mijlocul lui \(AB\): în \(\triangle ABC\) echilateral, \(CI \perp AB\); în \(\triangle ABD\) echilateral, \(DI \perp AB\) → \(AB \perp\) planul \((CID)\) → \(CD \perp AB\)). Din \(DP \parallel AB\) și \(AB \perp CD\) rezultă \(DP \perp CD\), deci \(\triangle CDP\) dreptunghic în \(D\). Aplică Pitagora.

b) \(DP \parallel AB\) → unghiul\((DP, CM)\) = \(\angle CMQ\), unde \(Q\) = mijlocul \(BD\), iar \(MQ\) linie mijlocie în \(\triangle ABD\). Calculează \(CM = CQ = 3\sqrt{3}\), \(MQ = 3\). Deoarece \(\triangle CMQ\) este isoscel cu \(CM = CQ\), determină aria prin înălțimea pe baza \(MQ\), apoi egalează cu \(\frac{1}{2} \cdot CM \cdot MQ \cdot \sin(\angle CMQ)\).

Rezolvare
a) Demonstrăm că \(CP = 6\sqrt{2}\) cm

Pas 1 — \(M\) este mijlocul lui \(AD\) (din ipoteză) și mijlocul lui \(BP\) (deoarece \(P\) este simetricul lui \(B\) față de \(M\)). Deci diagonalele \(AD\) și \(BP\) ale patrulaterului \(ABDP\) se bisectează în \(M\):

\(ABDP\) este paralelogram.
Paralelogramul ABDP

Pas 2 — Din proprietățile paralelogramului: \(DP \parallel AB\) și \(DP = AB = 6\) cm.

Demonstrăm că \(AB \perp CD\):

Fie \(I\) mijlocul muchiei \(AB\).

În \(\triangle ABC\) echilateral: \(CI\) este mediană ⟹ \(CI \perp AB\).
În \(\triangle ABD\) echilateral: \(DI\) este mediană ⟹ \(DI \perp AB\).

Deoarece \(CI \perp AB\) și \(DI \perp AB\), dreapta \(AB\) este perpendiculară pe planul \((CID)\). Cum \(CD \subset\) planul \((CID)\), rezultă \(AB \perp CD\).

Punctul I mijlocul AB — CI perpendicular AB și DI perpendicular AB

Din \(DP \parallel AB\) și \(AB \perp CD\) rezultă \(DP \perp CD\).

\(\triangle CDP\) este dreptunghic în \(D\), cu \(CD = DP = 6\) cm.

Pas 3 — Teorema lui Pitagora în \(\triangle CDP\):

Triunghiul dreptunghic CDP
\[ CP^2 = CD^2 + DP^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \]
\[ CP = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ cm} \quad \checkmark \]
b) Sinusul unghiului dreptelor \(DP\) și \(CM\) este \(\dfrac{\sqrt{33}}{6}\)

Pas 1 — Deoarece \(DP \parallel AB\), unghiul dreptelor \(DP\) și \(CM\) este egal cu unghiul dreptelor \(AB\) și \(CM\). Fie \(Q\) mijlocul lui \(BD\); \(MQ\) este linie mijlocie în \(\triangle ABD\), deci \(MQ \parallel AB\) și \(MQ = 3\) cm. Prin urmare, unghiul căutat este \(\angle CMQ\).

Pas 2 — Laturile \(\triangle CMQ\):

\[ CM = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ cm} \quad (\text{înălțime în } \triangle ACD \text{ echilateral}) \]
\[ CQ = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ cm} \quad (\text{înălțime în } \triangle BCD \text{ echilateral}) \]
\[ MQ = 3 \text{ cm} \]
Triunghiul CMQ cu Q mijlocul BD

Pas 3 — Aria \(\triangle CMQ\) — triunghi isoscel (\(CM = CQ = 3\sqrt{3}\) cm, baza \(MQ = 3\) cm):

Fie \(N\) mijlocul lui \(MQ\); înălțimea \(CN \perp MQ\) și \(MN = \dfrac{3}{2}\) cm.

\[ CN^2 = CM^2 - MN^2 = 27 - \frac{9}{4} = \frac{99}{4} \implies CN = \frac{3\sqrt{11}}{2} \text{ cm} \]
\[ \mathcal{A}_{CMQ} = \frac{1}{2} \cdot MQ \cdot CN = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{3\sqrt{11}}{2} = \frac{9\sqrt{11}}{4} \text{ cm}^2 \]

Pas 4 — Aria în două moduri:

\[ \frac{9\sqrt{11}}{4} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot MQ \cdot \sin(\angle CMQ) = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \sin(\angle CMQ) = \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(\angle CMQ) \]
\[ \sin(\angle CMQ) = \frac{9\sqrt{11}}{4} \cdot \frac{2}{9\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11} \cdot \sqrt{3}}{6} \]
\[ \sin(\angle CMQ) = \frac{\sqrt{33}}{6} \quad \checkmark \]
mateexamene.ro · Profesor Elena Micu · profmate.micuelena@gmail.com