Problema 1 — Subiectul III.1 (PDF)

Problema 1 Algebră Mediu Model Oficial 2026

📋 Enunț

În prezent, vârsta lui Bogdan este cu 8 ani mai mare decât triplul vârstei lui Tudor. Peste un an, vârsta lui Bogdan va fi de 5 ori mai mare decât vârsta lui Tudor.

2p a) Verifică dacă Tudor poate avea în prezent 4 ani. Justifică răspunsul dat.

3p b) Determină vârsta lui Bogdan în prezent.

✏️ Rezolvare

Notații și relații

Fie \( b \) = vârsta lui Bogdan în prezent (ani) și \( t \) = vârsta lui Tudor în prezent (ani).

Din enunț obținem sistemul: \(\displaystyle \begin{cases} b = 3t + 8 & (1) \\ b + 1 = 5(t + 1) & (2) \end{cases} \)

a) Verificăm dacă \( t = 4 \) (2p)

Calculăm \( b \) pentru \( t = 4 \), folosind relația (1)

\( b = 3 \cdot 4 + 8 = 12 + 8 = 20 \)

Verificăm dacă perechea \((b,\,t)=(20,\,4)\) satisface relația (2)

\( b + 1 = 21 \quad\) și \(\quad 5(t+1) = 5 \cdot 5 = 25 \)

\( 21 \neq 25 \) — relația (2) nu este satisfăcută.

Deoarece \( 21 \neq 25 \), Tudor nu poate avea în prezent 4 ani.

b) Determinăm vârsta lui Bogdan (3p)

Substituim expresia lui \( b \) din (1) în relația (2)

\( (3t + 8) + 1 = 5(t + 1) \)

Simplificăm și rezolvăm ecuația în \( t \)

\( 3t + 9 = 5t + 5 \implies 4 = 2t \implies \boxed{t = 2} \)

Calculăm \( b \) din relația (1)

\( b = 3 \cdot 2 + 8 = 6 + 8 = \boxed{14} \)

Verificare

Relația (1): \( 14 = 3 \cdot 2 + 8 = 14 \) ✅ Relația (2): \( 14+1 = 15 = 5 \cdot 3 \) ✅

Bogdan are în prezent \( b = \mathbf{14} \) ani.

💡 Strategii pentru probleme cu vârste

💡

Notează necunoscutele cu litere de la început

Stabilește clar ce reprezintă fiecare literă înainte de orice calcul.

💡

Tradu fiecare propoziție din enunț într-o ecuație

„cu 8 mai mare decât triplul" → \( b = 3t+8 \). Numerotează relațiile: (1), (2)…

💡

La verificare — folosește relațiile deja scrise, nu rezolva din nou

Substituie valoarea dată în (1) și (2) și compară membrul stâng cu cel drept.

💡

Metoda substituției elimină o necunoscută

Exprimă \( b \) din (1) și înlocuiește în (2) → ecuație cu o singură necunoscută.

⚠️

Atenție la „peste un an" și „acum X ani"

„Peste un an" → adaugi 1 la ambele vârste: \( b+1 \) și \( t+1 \).