Problema 2 — Subiectul III.1 (PDF)

Problema 2 Algebră Mediu Simulare 2026

📋 Enunț

Pentru a putea așeza elevii unei clase câte doi în fiecare bancă, în această sală de clasă, ar mai trebui adusă încă o bancă în care să fie așezați doi elevi.

2p a) Verifică dacă în această clasă pot fi 25 de elevi. Justifică răspunsul dat.

3p b) Dacă elevii acestei clase se așează câte 4 în bancă, atunci într-una dintre bănci stau doar 2 elevi, iar 5 bănci rămân libere. Determină numărul băncilor din această clasă.

✏️ Rezolvare

Notații și relații

Fie \( b \) = numărul de bănci din sala de clasă și \( n \) = numărul de elevi din clasă.

Din enunț obținem sistemul: \(\displaystyle \begin{cases} n = 2b + 2 & (1) \\ n = 4(b - 6) + 2 & (2) \end{cases} \)

Rel. (2): \((b-6)\) bănci pline cu 4 elevi, 1 bancă cu 2 elevi, 5 bănci libere.

a) Verificăm dacă n = 25 (2p)

Substituim \( n = 25 \) în relația (1)

\( 25 = 2b + 2 \implies 2b = 23 \implies b = 11{,}5 \)

Interpretăm rezultatul

Numărul de bănci trebuie să fie număr natural. Deoarece \( b = 11{,}5 \notin \mathbb{N} \), valoarea este imposibilă.

Deoarece \( b = 11{,}5 \notin \mathbb{N} \), în această clasă nu pot fi 25 de elevi.

b) Determinăm numărul băncilor (3p)

Egalăm expresiile lui \( n \) din (1) și (2)

\( 2b + 2 = 4(b - 6) + 2 \)

Rezolvăm ecuația în \( b \)

\( 2b + 2 = 4b - 24 + 2 \implies 24 = 2b \implies \boxed{b = 12} \)

Calculăm \( n \) din relația (1)

\( n = 2 \cdot 12 + 2 = \boxed{26} \text{ elevi} \)

Verificare

(1): \( 2 \cdot 12 + 2 = 26 \) ✅ (2): \( 6 \times 4 + 1 \times 2 = 26 \) elevi; \( 6 + 1 + 5 = 12 \) bănci ✅

În sala de clasă sunt \( b = \mathbf{12} \) bănci.

💡 Strategii pentru probleme cu distribuții

💡

Notează necunoscutele cu litere clare de la început

\( b \) = numărul de bănci, \( n \) = numărul de elevi.

💡

Tradu fiecare condiție din enunț într-o relație matematică

„câte 2, mai trebuie o bancă cu 2" → \( n = 2b + 2 \). Numerotează relațiile: (1), (2).

💡

La verificare — numărul de bănci trebuie să fie număr natural

Dacă \( b \notin \mathbb{N} \), valoarea lui \( n \) este imposibilă.

⚠️

Atenție la distribuția „câte 4 în bancă"

5 bănci libere + 1 bancă cu 2 elevi → bănci pline cu 4: \( b - 6 \), nu \( b - 5 \).