Problema 5
Algebră
Mediu
Simulare 2025
Un bunic dorește să împartă suma de 126 de lei celor trei nepoți ai săi: Ana, Bogdan și Costin. Ana va primi jumătate din suma pe care o vor primi împreună Bogdan și Costin.
2p
a) Verifică dacă Ana poate primi de la bunicul ei 40 de lei. Justifică răspunsul dat.
3p
b) Determină suma pe care o va primi Bogdan de la bunicul său, știind că este cu 10% mai mare decât suma pe care o va primi Costin de la bunicul său.
✏️ Rezolvare
Notații și relații
Fie \( a \) = suma Anei, \( b \) = suma lui Bogdan, \( c \) = suma lui Costin (lei).
\(\displaystyle \begin{cases} a + b + c = 126 & (1) \\ a = \dfrac{b+c}{2} & (2) \end{cases}\)
a) Verificăm dacă a = 40 lei (2p)
1
Din (2), calculăm b + c pentru a = 40
\( 40 = \dfrac{b+c}{2} \implies b + c = 80 \)
2
Verificăm relația (1)
\( a + b + c = 40 + 80 = 120 \neq 126 \)
Deoarece \( 40 + 80 = 120 \neq 126 \), Ana nu poate primi 40 de lei.
b) Determinăm suma lui Bogdan (3p)
1
Determinăm a din (1) și (2): \( b+c = 2a \)
\( a + 2a = 126 \implies 3a = 126 \implies \boxed{a = 42} \text{ lei} \)
2
Calculăm b + c
\( b + c = 126 - 42 = 84 \text{ lei} \)
3
Bogdan primește cu 10% mai mult decât Costin: \( b = 1{,}1c \)
\( 1{,}1c + c = 84 \implies 2{,}1c = 84 \implies c = 40 \text{ lei} \implies \boxed{b = 44 \text{ lei}} \)
4
Verificare
\( b = 1{,}1 \cdot 40 = 44 \) ✅ \( 42 + 44 + 40 = 126 \) ✅
Bogdan va primi \( b = \mathbf{44} \) lei de la bunicul său.
💡 Strategii pentru probleme cu împărțiri
💡
„Jumătate din suma celorlalți" → \( b+c = 2a \) → substituie în suma totală
\( a + 2a = 126 \implies a = 42 \) — Ana se află imediat, fără sistem.
💡
La verificarea din a) — calculează b+c, apoi suma totală
Dacă \( a + (b+c) \neq 126 \), valoarea propusă este imposibilă.
⚠️
„Cu 10% mai mare" → \( b = 1{,}1c \), nu \( b = c + 10 \)
Procentul se aplică la suma lui Costin, nu la o valoare fixă.
⚠️
Rezolvă în ordine: a → b+c → b și c separat
Ai nevoie de \( b+c = 84 \) înainte să poți găsi \( b \) și \( c \) individual.